Question

我有以下目标：

∀x ∈ {0,1,2,3,4,5}. P x

我想将此目标分解为六个子目标P 0，P 1，P 2，P 3，P 4和P 5。这可以通过apply auto轻松完成。但是auto用来执行此操作的相关规则是什么？我问，因为我的实际目标看起来更像是这样：

∀x ∈ {0..<6}. P x

和apply auto并没有以同样的方式打破这个目标（它给了我

⋀x. 0 ≤ x ⟹ x < 6 ⟹ P x

代替）。

Answer 1

auto正在使用的规则是ballI（限制所有介绍）。这会将∀x ∈ S. P x转换为x ∈ S ==> P x。

将x ∈ {0,1,2,3,4,5}转换为6个单独的子目标的问题是一个单独的问题。基本上，auto将显式枚举转换为析取，然后将其拆分。

Answer 2

您可以使用以下引理来分割单个目标：

lemma expand_ballI: "⟦ (n :: nat) > 0; ∀x ∈ {0..< (n - 1)}. P x; P (n - 1) ⟧ ⟹ ∀x ∈ {0..< n}. P x"
  by (induct n, auto simp: less_Suc_eq)

然后可以按如下方式重复应用于您的规则：

lemma "∀x ∈ {0..< 6 :: nat}. P x"
  apply (rule expand_ballI, fastforce)+
  apply simp_all

导致目标分裂如下：

goal (6 subgoals):
 1. P 0
 2. P (Suc 0)
 3. P 2
 4. P 3
 5. P 4
 6. P 5

Answer 3

使用[simp]引理将集合转换为更方便的集合版本非常方便。例如。 {0..<6} = {0,1,2,3,4,5}