Question

我在python中编写了一些代码，需要经常反转大方块矩阵（100-200行/列）。

我达到了机器精度的极限，所以我们开始尝试使用mpmath来进行任意精度矩阵求逆，但即使使用gmpy它也很慢。

以精度30（十进制）反转大小为20,30,60的随机矩阵需要~0.19,0.60和4.61秒，而mathematica中的相同操作需要0.0084,0.015和0.055秒。

这是在arch linux机器上使用python3和mpmath 0.17（不确定gmpy版本）。我不确定为什么mpmath这么慢，但是有没有任何开源库接近mathematica为此管理的速度（即便1/2也会很快）？

我不需要任意精度 - 128位可能就足够了。我也只是不明白mpmath怎么会这么慢。它必须使用非常不同的矩阵求逆算法。具体来说我正在使用M**-1。

有没有办法让它使用更快的算法或加快速度。

Answer 1

不幸的是，mpmath中的Linera代数相当慢。有许多库可以更好地解决这个问题（例如Sage）。也就是说，作为Stuart建议的后续内容，在Python中进行合理快速的高精度矩阵乘法相当容易，而无需使用定点算法安装任何库。这是一个使用mpmath矩阵进行输入和输出的版本：

def fixmul(A, B, prec):
    m = A.rows; p = B.rows; n = B.cols;
    A = [[A[i,j].to_fixed(prec) for j in range(p)] for i in range(m)]
    B = [[B[i,j].to_fixed(prec) for j in range(n)] for i in range(p)]
    C = [([0] * n) for r in range(m)]
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            s = 0
            for k in range(p):
                s += A[i][k] * B[k][j]
            C[i][j] = s
    return mp.matrix(C) * mpf(2)**(-2*prec)

在256位精度下，对于我来说，这两个200x200矩阵的乘法速度比mpmath快16倍。以这种方式直接编写矩阵求逆程序也不难。当然，如果矩阵条目非常大或非常小，您需要先重新缩放它们。一个更可靠的解决方案是使用gmpy中的浮点类型编写自己的矩阵函数，这应该基本上一样快。

Answer 2

我假设双精度对于最终结果的精度不是问题，但是对于某些矩阵而言，它在反向的中间结果中引起问题。在这种情况下，让我们将正常numpy（双精度）逆的结果视为一个很好的近似，然后用它作为牛顿方法的几次迭代的起点来求解逆。

让 A 成为我们试图反转的矩阵， X 是我们对逆的估计。牛顿方法的迭代只包括：

X = X*(2I - AX)

对于大型矩阵，计算上述几次迭代的努力与找到逆的算法相比几乎无关紧要，并且可以极大地提高最终结果的准确性。试一试。

BTW， I 是上述等式中的单位矩阵。

编辑以添加代码以测试浮动类型的精度。

使用此代码测试浮点类型的精度。

x = float128('1.0')
wun = x
two = wun + wun
cnt = 1
while True:
   x = x/two
   y = wun + x
   if y<=wun: break
   cnt +=1

print 'The effective number of mantissa bits is', cnt

Answer 3

Multiprecision toolbox for MATLAB使用128位精度（Core i7 930）提供以下时序：

20x20 - 0.007秒

30x30 - 0.019秒

60x60 - 0.117秒

200x200 - 3.2秒

请注意，现代CPU的这些数字要低得多。

mpmath矩阵求逆的替代或加速

3 个答案: