Question

假设有一个包含N个整数的大数组：

const unsigned N = 1e12;
int array[N] = { 1, 3 , 8, -5, 4, 3, -1 -6, 6, ....., N};

应该多次查询不同i j点范围内的最小元素。返回最小值的复杂度应小于O（j-i），并且应使用小于O（N ^ 2）的内存来解决问题。

如何做到这一点？

Answer 1

RMQ以下列方式运作：

我们保持一个数组M [N] [logN]，其中M [i] [j]表示从i开始并且长度为2 ^ j的最小范围数。为了填充该数组，首先我们计算所有M [i] [0]值，它们都等于M [i] [0] = A [i]（A [i]是原始数组）。之后，通过感应，每个M [i] [j]将等于 min（M [i] [j-1]，M [i +（1 <＆lt;（j-1））] [ j - 1]）即我们通过将其左边和右边的最小值取得更长的间隔来获得值。正确的部分，应该在前一步计算，因为我们从最短到最长的间隔。

之后，要获得[a..b]间隔中的最小值，您需要找到最大的P，这样2 ^ P不会超过间隔[a..b]的长度。并且答案将是 min（M [a] [P]，M [b - （1

Answer 2

对于静态数组，正如您所提到的，最快的解决方案是使用O（n）preproc的O（1）。但在实践中，您可能希望使用以下方法之一，这也适用于动态数组，在我看来更容易理解和编码：

将数组划分为sqrt（n）个部分，每个部分都包含sqrt（n）个元素，并为每个细分存储最小值。每个（i，j）将完全包含一些这些段加上左右两个元素。传递这些元素并存储段的答案以找到最小值。这需要O（n）preproc，O（sqrt（n））查询，O（sqrt（n））更新和O（sqrt（n））存储器。编码也很容易。
在数组上构建minumum segment tree。这为查询/更新提供了O（logn），O（n）memory / preproc。

Answer 3

对于那些了解俄语的人来说，这就是解决方案：http://e-maxx.ru/algo/rmq 对于那些不懂俄语的人，抱歉，我还没找到什么。如果有人会找到，请编辑我的答案。

Answer 4

一个简单的解决方案是创建一个二维数组，其中一个条目[i，j]存储范围arr [i..j]中的最小值。现在可以在O（1）时间内计算给定范围的最小值，但预处理需要O（n ^ 2）时间。此外，这种方法需要O（n ^ 2）额外空间，这对于大型输入阵列可能会变得很大。

另一个解决方案是构建一个Segment树。可以使用Segment树在适度的时间内进行预处理和查询。对于分段树，预处理时间为O（n），范围最小查询的时间为O（Logn）。所需的额外空间是O（n）来存储段树。

段树的表示

叶子节点是输入数组的元素。
每个内部节点代表其下所有叶子的最小值。

这里详细解释了Segment树的构造：

http://www.geeksforgeeks.org/segment-tree-set-1-range-minimum-query/

使用小于O（N ^ 2）的内存，在i-j范围内找到小于O（j-i）的最小值

4 个答案: