Question

来源我的答案：

Is this expression correct in C preprocessor

我有点不在这里，而且我正在努力了解这种特殊优化是如何运作的。

正如答案中所提到的，gcc将整数除法优化为7：

mov edx, -1840700269
mov eax, edi
imul    edx
lea eax, [rdx+rdi]
sar eax, 2
sar edi, 31
sub eax, edi

将其翻译为C：

int32_t divideBySeven(int32_t num) {
    int32_t temp = ((int64_t)num * -015555555555) >> 32;
    temp = (temp + num) >> 2;
    return (temp - (num >> 31));
}

让我们来看看第一部分：

int32_t temp = ((int64_t)num * -015555555555) >> 32;

为什么这个号码？

好吧，让我们取2 ^ 64并将其除以7并看看弹出的是什么。

2^64 / 7 = 2635249153387078802.28571428571428571429

这看起来像一团糟，如果我们把它转换成八进制怎么办？

0222222222222222222222.22222222222222222222222

这是一个非常漂亮的重复模式，当然这不是巧合。我的意思是我们记得7是0b111并且我们知道当我们除以99时我们倾向于在基数10中得到重复模式。因此，当我们除以时，我们在基数8中得到重复模式是有道理的。 7。

那么我们的号码在哪里？

(int32_t)-1840700269与(uint_32t)2454267027

相同

* 7 = 17179869189

最后17179869184是2^34

这意味着17179869189是7 2 ^ 34的最接近倍数。换句话说， 2454267027是适合uint32_t的最大数字，当乘以7非常接近2的幂

八进制数是多少？

0222222222223

为什么这很重要？好吧，我们想要除以7.这个数字是2 ^ 34/7 ...大约。因此，如果我们乘以它，然后leftshift 34次，我们应该得到一个非常接近确切数字的数字。

最后两行看起来像是用来修补近似误差。

也许在这个领域拥有更多知识和/或专业知识的人可以参与其中。

>>> magic = 2454267027
>>> def div7(a):
...   if (int(magic * a >> 34) != a // 7):
...     return 0
...   return 1
... 
>>> for a in xrange(2**31, 2**32):
...   if (not div7(a)):
...     print "%s fails" % a
...

失败从3435973841开始，这很有趣0b11001100110011001100110011010001

对近似失败的原因进行分类有点超出我的意义，为什么补丁修复它也是如此。有谁知道魔法是如何超越我在这里放下的？

Answer 1

算法的第一部分乘以7的倒数的近似值。在这种情况下，我们近似用整数乘法和右位移计算倒数。

首先，我们将值-1840700269（八进制-015555555555）视为32位整数。如果将其读作无符号32位整数，则其值为2454267027（八进制22222222223）。事实证明2454267027 / 2^34是1/7非常接近的整数近似值。

为什么我们选择这个数字和2的特定功率？我们使用的整数越大，近似值就越接近。在这种情况下，2454267027似乎是最大的整数（满足上述属性），您可以使用该整数乘以有符号的32位int而不会溢出64位int。

接下来，如果我们立即右移>> 34并将结果存储在32位int中，我们将失去两个最低位的精度。这些位是确定整数除法的右下限所必需的。

我不确定第二行是否已从x86代码中正确转换。此时，temp约为num * 4/7，因此num * 4/7 + num对此进行num * 1/7 + num * 1/4并且位变换将为您提供大约57 // 7 = 8，这是一个非常大的错误。

例如，将57 * 2454267027 = 139893220539作为输入57。我在代码中验证了以下内容：

139893220539 >> 32 = 32
57 * 4/7 = 32.5714...（此时约为32 + 57 = 89）
89 >> 2 = 22
8（呵呵？此时此处已接近-1。）

无论如何，对于最后一行，这是我们在以这种方式计算有符号整数除法之后进行的调整。我引用了Hacker对签约部门的喜悦部分：

代码最自然地计算分区结果，所以我们需要校正使其计算传统截断为0 结果。这可以通过三个计算指令来完成如果股息是负数，则增加股息。

在这种情况下（指你的其他帖子），你似乎正在进行签名班次，所以在负数的情况下它会减去+1;给出{{1}}的结果。

这甚至都不能做到;这是一个更加疯狂的blog post about how to divide by 7 with just a single multiplication。

整数除以7

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