创建平面图的对偶

Question

我正在考虑这个pdf，因为我正在尝试构建一个MSSP（多源最短路径），但我缺乏如何构建交叉决策树的知识。直到现在我创建了生成树，因此创建了plannar图，但我卡住因为我不知道我将如何建立它的双重。有没有具体的算法/方法或任何可以帮助我解决这个问题的论文？当我搜索，并没有找到任何有用的东西。

Answer 1

1. 如果您还没有，则需要组合嵌入。有一种有效的算法可以从入射结构中获得一种，但是平面图的自然源通常具有自然嵌入。有许多方法可以表示嵌入。我使用排列π将每个半边映射到具有相同头顶点的逆时针顺序的下一个半边。每个（非隔离的）顶点都与一个循环链接的传入半边列表相关联。

2. 设rev是将每个半边映射到另一半的排列，具有相反的头尾顶点。双图的嵌入排列是π后跟rev的组合。它以顺时针顺序将每个半边缘映射到面上的下一个半边缘（或者在无限面上逆时针方向，因为您正在查看其背面）。如果你手工尝试一些例子，这将更清楚。

3. 从初始根计算最短路径后（我使用了Dijkstra，除非你的MSSP实现比我的快得多，否则通过使用渐近更快的算法没有太大的相对改进），深度优先搜索，其中忽略属于最短路径树的边。 （另一种选择是以Euler-tour顺序访问交叉树的半边缘，但这种方法似乎会产生额外的对数时间动态树操作。）