当分母与m不共同时，如何计算“模乘法逆”？

Question

我需要计算 (a/b) mod m ，其中 a 和 b 是非常大的数字。

我要做的是计算 (a mod m) * (x mod m) ，其中 x 是 {的modular inverse {1}}

我尝试使用Extended Euclidean algorithm，但是当b和m不是共同素数时该怎么办？ 特别是mentioned b和m需要共同处理。

我尝试使用代码here，并意识到例如： 对于 b 的任何值， 3 * x mod 12 根本不可能，它不存在！

我该怎么办？算法可以以某种方式修改吗？

Answer 1

是的，你有麻烦了。如果b和m有一个公约数，x在b*x = 1 mod m中没有解。同样，在原始问题a/b = y mod m中，您正在寻找y a=by mod m。如果a可以被gcd(b,m)整除，那么您可以按该因子进行除法并求解y。如果没有，则没有y可以解决方程（即a/b mod m未定义）。

Answer 2

b和m必须是互质的原因是因为中国剩余定理。基本上是问题：

3 * x mod 12

可以被认为是涉及

的复合问题

3*x mod 3和3*x mod 4 = 2^2

现在如果b不是12的互质，这就像试图除以零。因此答案不存在！

这是由抽象代数中的场论引起的。字段基本上是具有明确定义的加法，减法，乘法和除法的集合。有限域总是GF（p ^ n）形式，其中p是素数，n是正整数，操作是加法和乘法模p ^ n。现在，12不是主要力量，所以你的响铃不是一个字段。因此，对于任何与m无关的b，都不能解决这个问题。

Answer 3

检查一下：http://www.math.harvard.edu/~sarah/magic/topics/division 它可能有所帮助。 它解释了模块划分的方法。