关于TAOCP第一卷“练习笔记”中出现的练习

Question

TAOCP第1卷中的“练习笔记”部分中有一个问题，如下所示：

“证明13 ^ 3 = 2197.概括你的答案。（这是作者试图避免的一个可怕的问题）。”

问题：

1. 你真的会如何证明这一点？ （直接乘法是一种方式，另一种方式可以是使用（a + b）^ 3的公式）。解决方案是否需要使用某种方法来进行某种推广？

2. 这里的概括是什么？

3. 为什么这是一个可怕的问题？

4. 你知道其他一些类似的可怕问题吗？

感谢任何答案。

P.S。如果上面的问题陈述使它看起来像一个家庭作业问题，我很抱歉，但事实并非如此。要求人们不要将此标记为家庭作业问题，以便更多人能够给出答案。

Answer 1

我猜他是暗示可能从Peano axioms开始证明它。然后constructing整数，并继续正式显示13 ^ 3 = 2197是一个自然的，合乎逻辑的结论，它来自取幂的定义。

我们可以概括地表明，给定a和b，存在一些整数c，即a ^ b。

这是一个可怕的问题，因为大多数人觉得它无趣。

在分析课程中可以找到类似的问题（还有一些非常有趣）。

Answer 2

我最初认为如下：
    n ³ = n * n * n
    log _n （n ³ ）= log _n （n * n * n）
    log _n （n ³ ）= log _n （n）+ log _n （n）+ log _{名词（n）的
    3 = 1 + 1 + 1
    3 = 3}

这在使用对数身份方面似乎相当循环，但考虑到我在算法研究中所处的位置，这是令人奇怪的安慰。

Answer 3

陷入同样的​​练习并且“解决了”＃39;这样： a ^ b = mult（i = 1到b）a

经过一番思考后，我得出的结论是，这是一个素数分解（13和3都是素数）。查看费马的小定理。

（我知道，这是一个老话题，但也许这会帮助那些也在寻求这个行动答案的人。）