Question

我正在使用numpy和matplotlib来分析我的模拟中的数据输出。有一个（明显的）不一致，我找不到根源。它是以下内容：

我的信号具有给定的能量a ^ 2~1。当我使用rfft进行FFT并计算傅里叶空间中的能量时，它会显着增大。为了无法提供我的数据的详细信息等，这里有一个简单的sin波的例子：

from pylab import *
xx=np.linspace(0.,2*pi,128)
a=np.zeros(128)
for i in range(0,128):
    a[i]=sin(xx[i])
aft=rfft(a)
print mean(abs(aft)**2),mean(a**2)

原则上两个数字应该相同（至少在数字意义上），但这是我从这段代码中得到的：

62.523081632 0.49609375

我试图通过numpy.fft文档但找不到任何内容。这里的搜索给出了以下内容，但我无法理解那里的解释：

Big FFT amplitude difference between the existing (synthesized) signal and the filtered signal

我错过了什么/误会？在这方面的任何帮助/指针将不胜感激。

谢谢！

Answer 1

亨利在非规范化部分是正确的，但还有一点，因为你使用的是rfft，而不是fft。以下是他的回答：

>>> x = np.linspace(0, 2 * np.pi, 128)
>>> y = 1 - np.sin(x)
>>> fft = np.fft.fft(y)
>>> np.mean((fft * fft.conj()).real)
191.49999999999991
>>> np.mean(y**2)
1.4960937500000004
>>> fft = fft / np.sqrt(len(fft))
>>> np.mean((fft * fft.conj()).real)
1.4960937499999991

但是如果你现在尝试使用rfft，那么事情就不会有用了：

>>> rfft = np.fft.rfft(y)
>>> np.mean((rfft * rfft.conj()).real)
314.58462009358772
>>> rfft /= np.sqrt(len(rfft))
>>> np.mean((rfft * rfft.conj()).real)
4.8397633860551954
65
>>> np.mean((rfft * rfft.conj()).real) / len(rfft)
4.8397633860551954

但以下方法可以正常使用：

>>> (rfft[0] * rfft[0].conj() +
...  2 * np.sum(rfft[1:] * rfft[1:].conj())).real / len(y)
1.4960937873636722

当您使用rfft时，您获得的数据不恰当是数据的DFT，而只是正数的一半，因为负数将与它对称。要计算均值，您需要考虑除DC分量之外的每个值两次，这是最后一行代码所做的。

Answer 2

在大多数FFT库中，各种DFT风格都不是orthogonal。 numpy.fft库仅在逆变换期间应用必要的标准化。

考虑Wikipedia description of the DFT;逆DFT具有DFT不具有的1 / N项（其中N是变换的长度）。要生成DFT的正交版本，需要将非标准化DFT的结果缩放1 / sqrt（N）。在这种情况下，变换是正交的（也就是说，如果我们将正交DFT定义为F，则逆DFT是F的共轭或英调，转置）。

在您的情况下，您可以通过aft简单地缩放1.0/sqrt(len(a))来获得正确的答案（请注意，N是从变换的长度中找到的;真正的FFT只会抛出大约一半的值，所以a的长度很重要。）

我怀疑离开规范化直到结束的原因是在大多数情况下，它没关系，因此您节省了两次进行规范化的计算成本。实际上，非常快速的FFTW library不会在任何一个方向上进行任何规范化，而是完全由用户来处理。

编辑：为了清楚起见，上面的解释并不完全正确。使用这种简单的缩放不会得到正确的答案，因为在你的情况下，DC分量将被添加两次，尽管1.0/sqrt(len(a))仍然是产生单一变换的正确缩放。

（numpy）FFT'd阵列的幅度（？）错误？

2 个答案: