分析QuickSort算法

Question

我在YouTube上关于快速排序的麻省理工学院讲座。我得到了大部分的想法，但我仍然坚持他在以下几点所说的算术系列：

最差情况： T（n）= T（n-1）+ Theta（n）

他问道，“这等于什么？”

然后他说它等于Theta（n ^ 2）

为什么它等于Theta（n ^ 2）而不等于Theta（n）??

Answer 1

T(n) = T(n-1) + n = n + n-1 + n-2 + ... + 1 = n(n+1)/2

中的sum of arithmetic progression Theta(n^2)

您也可以通过归纳来获取它，假设Theta(n)代表n（为简单起见，可以使用相同的方法进行修改）：

Hypothesis: T(n) = n(n+1)/2
Base: T(1) = 1*2/2 = 1
Step: 
T(n) = T(n-1) + n <= (*) (n-1)*n/2 + n = 
     = (n^2 -n)/2 + 2n/2 = (n^2-n + 2n)/2 =
     =  (n^2 +n) /2 = n(n+1)/2
(*) induction hypothesis

这向我们显示T(n) = n(n+1)/2确实在Theta(n^2)。