最小化有向图中保持连接组件的边集

Question

以下是完整的问题：

假设我们有一个有向图G =（V，E），我们想要找到一个具有以下属性的图G'=（V，E'）：

1. G'具有与G
相同的连接组件
2. G'与G
具有相同的组件图
3. E'被最小化。也就是说，E'尽可能小。

这是我得到的：

首先，运行强连接组件算法。现在我们拥有强大的连接组件。现在转到每个强连接组件，在SCC内部进行简单的循环;也就是说，一个循环，其中唯一重复的节点是开始/结束节点。这将最小化每个SCC中的边缘。

现在，我们需要最小化 SCC之间的边缘。唉，我想不出这样做的方法。

我的2个问题是：（1）关于 SCC之间的边缘最小化的部分先前是否合适？ （2）如何最大限度地减少SCC之间的边缘。

对于（2），我知道这相当于最小化DAG中的边数。 （将SCC视为顶点）。但这似乎对我没有帮助。

Answer 1

1. 算法似乎是正确的，只要您允许闭合行走（即重复顶点）。正确的循环可能不存在（例如，在“8”形状的组件中）并且发现它们是NP难的。

2. 似乎通过它们连接的有序对组件对组件间边缘进行分组就足够了，并且每组只留下一条边。

Answer 2

关于步骤2，最小化SCC之间的边缘，您可以随机选择一个顶点并运行DFS，仅保留每对（根，末端）的最长路径，同时删除其他路径。将所有搜索到的顶点存储在列表L中。

选择另一个顶点（如果存在于L中），跳到下一个顶点；如果不是，请重复上述步骤。