Question

我有一个差分运算符，它可以作用于两个函数。为了简化问题，我们可以说我的运营商是

A[F_,G_] := D[F,x] D[G,y]

如果我知道F，我希望能够定义微分算子AF，使AF [G]等于A [F，G]。显而易见的方法是

AF[G_] := A[F,G]

没有任何问题。但我真正喜欢的是安排事情，这样当我用不同的参数G1，G2，...调用AF时，衍生的D [F，x]不会每次重新计算，而只会重新计算一次。此外，我希望AF的定义不依赖于A的特定形式，因为A作为参数传递给我的函数。

我已经阅读了关于Hold，HoldAll，Evaluate等的帮助，但我不能将这些东西放在一起以获得我想要的东西。我甚至都不知道Mathematica中我想要的是什么。

Answer 1

根据您描述的问题，我没有看到一种直接的方式。你可以做的一件事就是重新定义它以使其更加容易，重新定义A，使其成为F和G的衍生物的函数。如果你有

A[{dFdx_,dFdy_}, {dGdx_,dGdy_}] := dFdx*dFdy

您将能够很好地计算所需的F衍生物，然后以AF的通用方式定义A，如下所示：

With[{ dFdx = D[F,x], dFdy = D[F,y] },
  AF[G_] := A[{dFdx, dFdy}, {D[G, x], D[G, y]}]]

您可以使用With将已评估的部分替换为SetDelayed表单的未评估右侧（使用“：=”的定义），如图所示。但是，如果你不能做出改变，事情会变得多毛，你必须对A的内容做出一些假设。

如果A是为其定义了DownValues的符号，并且具有简单的定义，那么您可以使用Hold进行部分评估，进行规则替换，然后执行ReleaseHold，如此：

ReleaseHold[
  Hold[AF[G_] := A[F, G]] /. DownValues[A] /. 
    HoldPattern[D[F, var_]] :> With[{eval = D[F, var]}, eval /; True]]

第二条规则中的With[...]位是强制评估匹配Hold内部模式的内容的一种技巧，这种模式称为"Trott-Strzebonski method"，这对于像{{}}这样的任务来说非常有用这个。然而，这种方式确实限制了你的界面，这意味着你不能传递A的纯函数，并且使用更复杂的定义，这个技巧也可能不起作用。如果您可以设法指定您的差异形式将是实际衍生工具的函数，我强烈建议您这样做。

编辑：我想到了一种更通用，更健壮的方法。

然后诀窍是暂时使用D来抑制Block（派生运算符）的定义，因此A定义中的导数仍未被评估，然后使用规则 - 替换为F的导数的值替换，同时将所有内容包装在纯函数中以使名称替换正确，如下所示：

With[{fRules =
 {HoldPattern[D[F, x]] :> Evaluate[D[F, x]]}},
   Block[{D},
     With[{fn = Function[G, Evaluate[A[F, G] /. fRules]]},
       AF[G_] := fn[G]]]]

Answer 2

你能不能这样做：

A[F_] := With[{DF = D[F, x]}, Function[{G}, DF D[G, y]]]

这类似于在F＃等真正的函数式编程语言中进行编写，您可以在其中编写：

let a f =
  let df = d f x
  fun g -> df * d g y

Mathematica中的部分评估

2 个答案: