二叉树属性 - 平衡

Question

我正在尝试理解二叉树属性。但我不确定一件事：

def。一棵二进制树说：

1. 如果对于每个节点，二元树是平衡的，左子树中的内部节点数和右子树中的内部节点数最多相差1。

2. 如果任何两个树离开diff，则二叉树是平衡的。深度最多1。

我问我是否这两个def。是等价的，我的意思是确定。 1 statisfy Def。 2，反之亦然？ ...对我来说似乎是......但谁可以用例子来解释我这个属性的（非）等价？

谢谢， 帕特里克

Answer 1

不，两者不相同。

    3
   / \
  2   7
 /   / \
1   5   8
   / \   \
  4   6   9

是满足属性2的树，但不是属性1.

属性1表示属性2，但是。

命题：在根据属性1与n内部节点平衡的二叉树中，所有叶子的深度为

• k if n = 2^k - 1
• k或k+1如果2^k <= n < 2^(k+1)-1，并且有深度k+1。

证明：（通过对内部节点数量的归纳）

对于n = 1 = 2^1-1，深度为1的一个或两个叶子（根深度为0）。

对于n = 2，一个子树有一个内部节点，该子树中的所有叶子都在深度2，另一个子树是空的或深度为1的叶子。

设n >= 2并考虑根据属性1与n+1内部节点平衡的二叉树。

如果n是偶数，n = 2*m，则两个子树必须具有m个内部节点，并且深度属性由归纳假设保留。

如果n = 2*m+1为奇数，则一个子树有m个内部节点，另一个m+1。

1. 如果2^k <= m < 2^(k+1)-1，带有m内部节点的子树的深度为k+1，并且可能由感应假设留在深度k。包含m+1内部节点的树也有深度为k+1的树叶，可能（如果m+1 < 2^(k+1)-1）深度为k。

2. 如果m = 2^k - 1，具有m内部节点的子树仅在深度k处离开，而具有m+1个内部节点的子树在深度处留下{ {1}}，可能深度为k+1。