Question

在8个顶点的无向随机图中，边在一对顶点之间存在1/2的概率。长度为3的无序循环的预期数量是多少？

以下是我想到的方法：

方法1 基本上，长度为3的循环（“无序”，我假设其意味着顶点可以以任何顺序取得）将是三角形。

设顶点数= v，这些周期中没有C

对于n = 3，C = 1

对于n = 4，c = 4.（具有2条对角线的正方形.4个独特的三角形）。 ....

对于n> 3，C（n）=（n-2）+（n-2）（n-3）+（n-4），概括。

这是因为：让我们从外边开始，以三角形作为基础。对于我们选择的第一条边（去掉了2个顶点），有（n-2）个其他顶点来选择第三个三角形点。所以（n-2）在第一学期。

接下来，最后一个术语是因为我们选择以三角形为基础的最后一侧将最左边和最右边的三角形已经被我们选择的第一个边和它的前一个边取出。

中间项是剩余边数和可能三角形的乘积。

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使用上面的8个顶点集，人们可以在视觉上轻易地思考它。（如果需要更好的图表，我将做必要的！）。因此对于v = 8，C（8）= 40.因此，边缘的概率是1/2。。

方法2 n个点的三角形数是nC3，其中C是“组合”。但是，预计这些边缘的一半不会存在。。。

我不确定如何超越这一点。任何正确方向的提示都会很棒。顺便说一句，这不是一个功课问题。

Answer 1

您有nC3个可能的三角形。要显示三角形，必须存在所有三条边 - 因此出现特定三角形的概率为1/8。

预期的三角形数量为(nC3) / 8。

在您的情况下，8C3 / 8或7。

Answer 2

因此，您现在已经给出了n个顶点，您就可以使用nC1种方式选择第一个边。存在该边的概率为1/2。现在在左边的n-1边，我们可以选择（n-1）C1种方式的概率为1/2，类似地，选择第三条边与（n-2）C1的可能性为1/2因此，这可以同时作为 {nC1 *（1/2）（n-1）C1 （1/2）*（n-2）C1 * 1/2} / 3来完成！ 我们必须除以3 ！，因为它要求无序。

随机图中的循环数

2 个答案: