二次曲线的速度

Question

我正在写一个2D游戏，我在相机空间里有鸟。我想让它们飞起来。所以，我生成3~随机点。第一个是左上方，第二个是中下方，第三个是右上方。

结果我有180度旋转三角形。

为了让鸟儿通过曲线的路径，我有一个t参数，每个帧（渲染循环）增加一些增量。

问题在于，在不同的曲线中，鸟类的速度不同。如果三角形是“宽”（ 1 ），它们会更慢，如果它被Y坐标（ 2 ）拉伸，速度会非常快。

但我想在不同的曲线上使速度相等。从逻辑上讲，我必须更改delta，每条曲线附加每条曲线。

---

我试图像这样解决它：

通过将2个向量的长度相加来找出曲线的长度：P1P2和P2P3。

比我定义了每帧1个虚拟仪表的速度。一个小伪代码：

float pixelsInMeter = 92.f; // One virtual meter equals to this number of pixels
float length = len(P1P2) + len(P2P3)
float speed  = 0.0003f; // m/frame

// (length * speed) / etalon_length
float speedForTheCurve = toPixels( (toMeters(length) * speed) / 1.f);

// ...
// Each frame code:
t += speedForTheCurve;
Vector2 newPos = BezierQuadratic(t, P1, P2, P3);

但是无论如何鸟类的速度都不同。怎么了？或者也许有更好的方法。

Answer 1

您正在使用的Bezier函数是一个边界为[0 ... 1]的参数化函数。你正在踩着步长，这就是你疯狂速度的原因。一般来说，距离 d 是等式中的因变量，它告诉我它们的速度将根据曲线的长度而不同。

由于速度是你的因变量，我们将通过计算步长来矢量化你的函数。

查看这个伪代码：

P1 = (x1, y1)

P2 = (x2, y2)

P3 = (x3, y3)

int vec[100][2]

int getPoint(int p1, int p2, float stepSize) {
   return p1 + (p2 - p1)*stepSize;
}

for (float i = 0.0; i < 1.0; i += 0.01 ) {
   int newX = getPoint(getPoint(x1, x2, i), getPoint(x2, x3, i), i);
   int newY = getPoint(getPoint(y1, y2, i), getPoint(y2, y3, i), i);
   vec[iter++][0] = newX;
   vec[iter][1] = newY;
}

您可以通过执行第一个差异来获取增量值，但我认为这不是必要的。只要您根据步骤迭代移动所有鸟类适当的距离，它们将移动不同的距离，但它们将以相同的方式开始和结束它们的轨迹。

从等式中，我们可以计算像素增量步长：

int pixelsToMove = toMeter(sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2))/pixelsInMeter;

这将为您提供适当数量的像素来移动鸟。这样他们都会移动不同的步长，但他们的速度会有所不同。这有意义吗？

---

或者，尝试这样的事情（更难）：

1. 获取您选择的三个点的实际二次函数。
2. 在两个xy直角坐标
之间积分二次方程式
3. 将计算出的长度转换为像素或您正在使用的任何内容
4. 获得因变速，以便所有曲线同时完成。

让我们从二次方开始：

y = Ax^2 + Bx + C其中A != 0，因为你有三个点，你需要三个方程式。使用代数，你可以解决因素：

A = (y3 - y2)/((x3 - x2)(x3 - x1)) - (y1 - y2)/((x1 - x2)(x3 - x1))

B = (y1 - y2 + A(x2^2 - x1^2))/(x1 - x2)

C = y1 - Ax1^2 - Bx1

然后，您可以使用上面的公式来获得闭合形式的弧长。检查这个网站，wolfram会为你整合它，你只需要输入它：

Closed form solution for quadradic integration

现在您已经计算了弧长，将actualArcLength转换为您正在使用的速度或任何单位：

float speedForTheCurve = toPixels( (toMeters(actualArcLength) * speed) / 1.f);