Question

在一个背包的情况下，最佳地填充背包的动态编程算法很有效。但是，是否有一种有效的已知算法可以最佳地填充2个背包（容量可能不相等）？

我尝试了以下两种方法，但两种方法都不正确。

首先使用原始DP算法填充第一个背包，填充一个背包，然后填充另一个背包。
首先填充尺寸为W1 + W2的背包，然后将溶液分成两个溶液（其中W1和W2是两个背包的容量）。

问题陈述（另见维基百科的Knapsack Problem）：

我们必须用一组物品填充背包（每个物品都有一个重量和一个值），以便最大化我们从物品中获得的价值，同时总重量小于或等于背包尺码。
我们不能多次使用一个项目。
我们不能使用项目的一部分。我们不能把一个项目的一小部分。（每个项目必须完全包含或不包括在内）。

Answer 1

我会假设每个n项目只能使用一次，您必须最大化您的利润。

原始背包是dp[i] = best profit you can obtain for weight i

for i = 1 to n do
  for w = maxW down to a[i].weight do
    if dp[w] < dp[w - a[i].weight] + a[i].gain
      dp[w] = dp[w - a[i].weight] + a[i].gain

现在，由于我们有两个背包，我们可以使用dp[i, j] = best profit you can obtain for weight i in knapsack 1 and j in knapsack 2

for i = 1 to n do
  for w1 = maxW1 down to a[i].weight do
    for w2 = maxW2 down to a[i].weight do
      dp[w1, w2] = max
                   {
                       dp[w1, w2], <- we already have the best choice for this pair
                       dp[w1 - a[i].weight, w2] + a[i].gain <- put in knapsack 1
                       dp[w1, w2 - a[i].weight] + a[i].gain <- put in knapsack 2
                   }

时间复杂度为O(n * maxW1 * maxW2)，其中maxW是背包可以携带的最大重量。请注意，如果容量很大，则效率不高。

Answer 2

原始DP假设您在dp数组中标记了您可以在背包中获得的值，并且通过考虑元素来完成更新。
在2个背包的情况下你可以使用2维动态阵列，所以 dp [i] [j] = 1 当你可以把重量 i 放在第一位且重量 j 到第二个背包。更新类似于原始DP案例。

Answer 3

递归公式是任何人都在寻找：

给定n个项目，使得项目i具有权重wi和值pi。这两个背包具有W1和W2的容量。

对于每0 <= i <= n，0 <= a <= W1,0 <= b <= W2，表示M [i，a，b]为最大值。

对于＆lt; 0或b＆lt; 0-M [i，a，b] =-∞ 对于i = 0，或a，b = 0-M [i，a，b] = 0

公式： M [i，a，b] = max {M [i-1，a，b]，M [i-1，a-wi，b] + pi，M [i-1，a，b-wi] + PI}

i项目问题的每个解决方案都有背包1中的项目i，背包2或其中没有任何项目。

填充2背包的最佳方式？

3 个答案: