在R中曲线拟合这些数据？

Question

有几天我一直在研究这个问题而且我被卡住了......

我在R中执行了一些蒙特卡罗模拟，它给出了每个输入x的输出y，并且在x和y之间显然有一些简单的关系，所以我想确定公式及其参数。但我似乎无法在“低x”和“高x”系列中获得良好的整体适应性，例如：使用这样的对数：

dat = data.frame(x=x, y=y)
fit = nls(y~a*log10(x)+b, data=dat, start=list(a=-0.8,b=-2), trace=TRUE)

我也尝试拟合（log10（x），10 ^ y），这非常适合，但反向变换不适合（x，y）。

任何人都可以解决这个问题吗？

请解释您是如何找到解决方案的。

谢谢！

修改

感谢所有快速反馈！

我不知道我正在模拟的理论模型所以我没有比较基础。我根本不知道x和y之间的真实关系。顺便说一下，我不是统计学家。

基础模型是一种随机反馈增长模型。我的目标是在给定输入x> 0的情况下确定长期增长率g，因此系统的输出在每次迭代中以1 + g的速率指数地增长。系统在每次迭代中根据系统的大小进行随机生产，输出一部分产量，其余部分保留在系统中，由另一个随机变量确定。从MC模拟我发现系统输出的增长率对于每个测试过的x而言是对数正态分布的，而数据系列中的y是增长率g的对数。当x走向无穷大时，g趋向于零。随着x走向零，g走向无穷大。

我想要一个可以从x计算y的函数。我实际上只需要一个低x的函数，比如说，在0到10的范围内。我能够很好地拟合y = 1.556 * x ^ -0.4 -3.58，但它不适合大x。我想要一个对所有x> 0都通用的函数。我也尝试过Spacedman的poly fit（谢谢！）但它在x = 1到6的关键范围内不够好。

有什么想法吗？

编辑2：

我已经尝试了一些，还有Grothendieck的详细建议（谢谢！）经过一些考虑我决定，因为我没有理论基础选择一个功能而不是另一个，我很可能只对此感兴趣在1到6之间的x值中，我应该使用一个非常适合的简单函数。所以我只使用y~a * x ^ b + c并记下它不适合高x。在论文的第一稿完成后，我可以再次寻求社区的帮助。一旦你看到蒙特卡洛模型，也许你们中的一个人可以发现x和y之间的理论关系。

再次感谢！

低x系列：

      x          y
1   0.2 -0.7031864
2   0.3 -1.0533648
3   0.4 -1.3019655
4   0.5 -1.4919278
5   0.6 -1.6369545
6   0.7 -1.7477481
7   0.8 -1.8497117
8   0.9 -1.9300209
9   1.0 -2.0036842
10  1.1 -2.0659970
11  1.2 -2.1224324
12  1.3 -2.1693986
13  1.4 -2.2162889
14  1.5 -2.2548485
15  1.6 -2.2953162
16  1.7 -2.3249750
17  1.8 -2.3570141
18  1.9 -2.3872684
19  2.0 -2.4133978
20  2.1 -2.4359624
21  2.2 -2.4597122
22  2.3 -2.4818787
23  2.4 -2.5019371
24  2.5 -2.5173966
25  2.6 -2.5378936
26  2.7 -2.5549524
27  2.8 -2.5677939
28  2.9 -2.5865958
29  3.0 -2.5952558
30  3.1 -2.6120607
31  3.2 -2.6216831
32  3.3 -2.6370452
33  3.4 -2.6474608
34  3.5 -2.6576862
35  3.6 -2.6655606
36  3.7 -2.6763866
37  3.8 -2.6881303
38  3.9 -2.6932310
39  4.0 -2.7073198
40  4.1 -2.7165035
41  4.2 -2.7204063
42  4.3 -2.7278532
43  4.4 -2.7321731
44  4.5 -2.7444773
45  4.6 -2.7490365
46  4.7 -2.7554178
47  4.8 -2.7611471
48  4.9 -2.7719188
49  5.0 -2.7739299
50  5.1 -2.7807113
51  5.2 -2.7870781
52  5.3 -2.7950429
53  5.4 -2.7975677
54  5.5 -2.7990999
55  5.6 -2.8095955
56  5.7 -2.8142453
57  5.8 -2.8162046
58  5.9 -2.8240594
59  6.0 -2.8272394
60  6.1 -2.8338866
61  6.2 -2.8382038
62  6.3 -2.8401935
63  6.4 -2.8444915
64  6.5 -2.8448382
65  6.6 -2.8512086
66  6.7 -2.8550240
67  6.8 -2.8592950
68  6.9 -2.8622220
69  7.0 -2.8660817
70  7.1 -2.8710430
71  7.2 -2.8736998
72  7.3 -2.8764701
73  7.4 -2.8818748
74  7.5 -2.8832696
75  7.6 -2.8833351
76  7.7 -2.8891867
77  7.8 -2.8926849
78  7.9 -2.8944987
79  8.0 -2.8996780
80  8.1 -2.9011012
81  8.2 -2.9053911
82  8.3 -2.9063661
83  8.4 -2.9092228
84  8.5 -2.9135426
85  8.6 -2.9101730
86  8.7 -2.9186316
87  8.8 -2.9199631
88  8.9 -2.9199856
89  9.0 -2.9239220
90  9.1 -2.9240167
91  9.2 -2.9284608
92  9.3 -2.9294951
93  9.4 -2.9310985
94  9.5 -2.9352370
95  9.6 -2.9403694
96  9.7 -2.9395336
97  9.8 -2.9404153
98  9.9 -2.9437564
99 10.0 -2.9452175

高x系列：

              x         y
1  2.000000e-01 -0.701301
2  2.517851e-01 -0.907446
3  3.169786e-01 -1.104863
4  3.990525e-01 -1.304556
5  5.023773e-01 -1.496033
6  6.324555e-01 -1.674629
7  7.962143e-01 -1.842118
8  1.002374e+00 -1.998864
9  1.261915e+00 -2.153993
10 1.588656e+00 -2.287607
11 2.000000e+00 -2.415137
12 2.517851e+00 -2.522978
13 3.169786e+00 -2.621386
14 3.990525e+00 -2.701105
15 5.023773e+00 -2.778751
16 6.324555e+00 -2.841699
17 7.962143e+00 -2.900664
18 1.002374e+01 -2.947035
19 1.261915e+01 -2.993301
20 1.588656e+01 -3.033517
21 2.000000e+01 -3.072003
22 2.517851e+01 -3.102536
23 3.169786e+01 -3.138539
24 3.990525e+01 -3.167577
25 5.023773e+01 -3.200739
26 6.324555e+01 -3.233111
27 7.962143e+01 -3.259738
28 1.002374e+02 -3.291657
29 1.261915e+02 -3.324449
30 1.588656e+02 -3.349988
31 2.000000e+02 -3.380031
32 2.517851e+02 -3.405850
33 3.169786e+02 -3.438225
34 3.990525e+02 -3.467420
35 5.023773e+02 -3.496026
36 6.324555e+02 -3.531125
37 7.962143e+02 -3.558215
38 1.002374e+03 -3.587526
39 1.261915e+03 -3.616800
40 1.588656e+03 -3.648891
41 2.000000e+03 -3.684342
42 2.517851e+03 -3.716174
43 3.169786e+03 -3.752631
44 3.990525e+03 -3.786956
45 5.023773e+03 -3.819529
46 6.324555e+03 -3.857214
47 7.962143e+03 -3.899199
48 1.002374e+04 -3.937206
49 1.261915e+04 -3.968795
50 1.588656e+04 -4.015991
51 2.000000e+04 -4.055811
52 2.517851e+04 -4.098894
53 3.169786e+04 -4.135608
54 3.990525e+04 -4.190248
55 5.023773e+04 -4.237104
56 6.324555e+04 -4.286103
57 7.962143e+04 -4.332090
58 1.002374e+05 -4.392748
59 1.261915e+05 -4.446233
60 1.588656e+05 -4.497845
61 2.000000e+05 -4.568541
62 2.517851e+05 -4.628460
63 3.169786e+05 -4.686546
64 3.990525e+05 -4.759202
65 5.023773e+05 -4.826938
66 6.324555e+05 -4.912130
67 7.962143e+05 -4.985855
68 1.002374e+06 -5.070668
69 1.261915e+06 -5.143341
70 1.588656e+06 -5.261585
71 2.000000e+06 -5.343636
72 2.517851e+06 -5.447189
73 3.169786e+06 -5.559962
74 3.990525e+06 -5.683828
75 5.023773e+06 -5.799319
76 6.324555e+06 -5.929599
77 7.962143e+06 -6.065907
78 1.002374e+07 -6.200967
79 1.261915e+07 -6.361633
80 1.588656e+07 -6.509538
81 2.000000e+07 -6.682960
82 2.517851e+07 -6.887793
83 3.169786e+07 -7.026138
84 3.990525e+07 -7.227990
85 5.023773e+07 -7.413960
86 6.324555e+07 -7.620247
87 7.962143e+07 -7.815754
88 1.002374e+08 -8.020447
89 1.261915e+08 -8.229911
90 1.588656e+08 -8.447927
91 2.000000e+08 -8.665613

Answer 1

如果不了解底层过程，您也可以根据自己的喜好选择多项式。你似乎没有测试一个假设（例如，引力强度与距离成反平方），所以你可以捕获所有你喜欢的函数形式，数据不太可能告诉你哪一个是'正确'。

因此，如果我将数据读入具有x和y分量的数据框，我可以这样做：

data$lx=log(data$x)
plot(data$lx,data$y) # needs at least a cubic polynomial 
m1 = lm(y~poly(lx,3),data=data) # fit a cubic
points(data$lx,fitted(m1),pch=19)

并且拟合点非常接近。将多项式度数从3更改为7，并且这些点是相同的。这是否意味着您的Y值实际上来自X值的7次多项式？不，但是你有一条曲线贯穿其中。

在这个比例下，你也可以用直线连接相邻的点，你的情节是如此顺利。但是，如果没有潜在的理论为什么Y依赖于X（就像一个平方反比定律，或指数增长，或者某种东西），你所做的就是加入点，并且有无限的方法可以做到这一点。

Answer 2

回归x / y与x 为低数据绘制y与x的关联点并稍微玩一下，似乎x/y近似为线性在x中，请尝试针对x/y回归x，这样我们只会根据两个参数建立关系：

y = x / (a + b * x)

其中a和b是回归系数。

> lm(x / y ~ x, lo.data)

Call:
lm(formula = x/y ~ x, data = lo.data)

Coefficients:
(Intercept)            x  
    -0.1877      -0.3216  

MM.2 以上内容可以转换为drc R包中的MM.2模型。如下所示，该模型具有高R ² 。此外，我们计算了可用于与其他模型进行比较的AIC（越低越好）：

> library(drc)
> fm.mm2 <- drm(y ~ x, data = lo.data, fct = MM.2())
> cor(fitted(fm.mm2), lo.data$y)^2
[1] 0.9986303
> AIC(fm.mm2)
[1] -535.7969

CRS.6 这表明我们尝试了一些其他drc模型以及我们尝试过的那些模型CRS.6具有特别低的AIC并且看起来很适合视觉效果：

> fm.crs6 <- drm(y ~ x, data = lo.data, fct = CRS.6())
> AIC(fm.crs6)
[1] -942.7866
> plot(fm.crs6) # see output below

这为我们提供了一系列模型，我们可以使用2参数MM.2模型，它不如CRS.6那样适合（根据AIC），但仍然非常适合并具有优势只有两个参数或6参数CRS.6模型及其优越的AIC。请注意，AIC已经因为拥有更多参数而对模型进行处罚，因此具有更好的AIC并不是具有更多参数的结果。

其他如果认为低和高应该具有相同的模型形式，那么找到适合低井和高井的单个模型形式可以用作挑选模型形式的另一个标准。除了drc模型之外，Akbar et al, IRJFE, 2010的（2.1），（2.2），（2.3）和（2.4）中还有一些屈服密度模型看起来类似于可以尝试的MM.2模型。

更新：在drc软件包周围重新设计。