Question

给定n的二进制数字计数和m的最大连续出现次数，找到不同的可能二进制数的数量。此外，最左边和最右边的位必须为1.

例如n = 5，m = 3。

计数是7： 10001 10011 10101 10111 11001 11011 11101

注意我们排除了11111，因为其中存在太多连续的1。

这是我最近的一个采访问题，一直困扰着我。我不想暴力检查每个数字的合法性，因为n可以是＆gt; 32。

Answer 1

如果二进制序列以“1”开头并且最多m个连续的“1”数字，那么我们调用二进制序列几乎有效。

对于i = 1, ..., n和j = 0, ..., m，让a(i, j)为长度为i且以j个连续“1”数字结尾的几乎有效序列的数量。

然后

a(1, 1) = 1和a(1, j) = 0 for j != 1，因为“1”是长度为1的唯一有效序列。

对于n >= 2和j = 0，我们有a(i, 0) = a(i-1, 0) + a(i-1, 1) + ... + a(i-1, m)，因为将“0”附加到任何几乎有效的长度为i-1的序列，会得到一个几乎有效的长度序列{{1以“0”结尾。

对于i和n >= 2，我们有j > 0，因为将“1”附加到几乎有效的序列，a(i, j) = a(i-1, j-1)尾随的序列会给出一个几乎有效的长度序列{{1与i-1尾随的。{/ li>

最后，想要的数字是长度为j并且尾随“1”的几乎有效序列的数量，所以这是

i

写成C函数：

n

甚至可以改进存储要求，因为只需要矩阵f(n, m) = a(n, 1) + a(n, 2) + ... + a(n, m)的最后一列。运行时复杂度为int a[NMAX+1][MMAX+1]; int f(int n, int m) { int i, j, s; // compute a(1, j): for (j = 0; j <= m; j++) a[1][j] = (j == 1); for (i = 2; i <= n; i++) { // compute a(i, 0): s = 0; for (j = 0; j <= m; j++) s += a[i-1][j]; a[i][0] = s; // compute a(i, j): for (j = 1; j <= m; j++) a[i][j] = a[i-1][j-1]; } // final result: s = 0; for (j = 1; j <= m; j++) s += a[n][j]; return s; }。

Answer 2

如果没有太多的组合洞察力，你可以用DP解决这个问题。让我们调用^left＃_n，m ^right长度为n的二进制字符串的数量，没有连续1的子字符串长于m，从头开始字符串左边，以字符串右边结束。显然，我们希望找到¹＃_n-2，m ¹。

关键观察是^left＃_n，m ^right = ^{left +'1'}＃< sub> n-1，m ^right + ^{left +'0'}＃_n-1，m ^right

js中的一个简单实现（不确定它是否适用于小m，并且通常未经测试）：

function hash(n,m) {

   return _('1',n-2);

   function _(left,n){
      if (m+1 <= left.length && left.lastIndexOf('0') <= left.length-m-2)
         return 0;
      if (n==0)
         return (m <= left.length &&
                 left.lastIndexOf('0') <= left.length-m-1 ? 0:1);
      return _(left+'1',n-1) + _(left+'0',n-1);
   }

}

hash(5,3); // 7

当然这比蛮力更有效，但是运行时复杂度仍然是指数级的，因此对于大的n值来说是不切实际的。

如何查找具有以下约束的二进制数的数量：

2 个答案: