k-way三角集交集和三角剖分

Question

如果我们有K组可能重叠的三角形，那么计算一组新的非重叠三角形的计算效率是多少？

例如，请考虑以下问题：

这里我们有3个三角形集A，B，C，有一些相互重叠，并希望得到非重叠集A'，B'，C'，AB，AC，BC，ABC，例如AC中的三角形将包含A和C之间唯一重叠的表面;和A'将包含A的表面，它们不与任何其他集重叠。

Answer 1

我（也）建议采用两步法。

<强> 1。找到所有三角形边的交点。

正如评论中所指出的，这是一个研究得很好的问题，通常采用线扫方法。这是very nice overview，特别是Bentley-Ottmann算法。

<强> 2。使用受约束的Delaunay进行三角测量。

我认为@Claudiu建议的Polygon Triangulation无法解决您的问题，因为它无法保证包含所有原始边缘。因此，我建议你看看Constrained Delaunay triangulations。这些允许您指定必须包含在三角剖分中的边，即使它们不包含在无约束Delaunay或多边形三角剖分中。此外，还有一些实现允许您指定三角剖分的非凸边框，在该边框之外不生成三角形。在您的情况下，这似乎也是一个要求。

实施受约束的Delaunay并非易事。但是，CMU研究员（包括命令行工具）可以提供very nice C implementation。有关此特定算法的理论，请参阅here。该算法还支持边界规范。请注意，链接算法可以做的不仅仅是Constrained Delaunay（即质量网格生成），但可以配置为不添加新点，这相当于约束Delaunay。

修改查看其他实施的评论。

Answer 2

如果你想要更直接的东西，更快的实现，更少的代码...我建议你做一些简单的polygon clipping，就像旧的软件渲染算法一样（特别是你自己'只处理三角形作为输入）。正如其他几个人简要提到的那样，它涉及在每个其他 段 与之相交的点处拆分每个三角形。

三角形很容易，因为在给定平面上分割三角形总是会产生1或2个新的（总共2或3）。如果您的数据集相当大，您可以引入四叉树或其他形式的空间组织，以便在添加新的三角形时更快地找到相交的三角形。

当然，这会产生比建议的Constrained Delaunay算法更多的多边形。但是这些算法中的许多算法在重叠形状方面做得并不好，并且需要你知道你的轮廓线段，所以你无论如何都会做同样的工作。

如果需要更少的结果三角形，您可以始终在最后进行合并传递（在剪切期间添加邻居信息以加快该部分的速度）。

无论如何，祝你好运！

Answer 3

您的示例是计算几何学家称之为“一种安排”的特例。 CGAL Library具有广泛而有效的安排处理程序。如果选中this part of the documentation，您将看到可以声明一个空排列，然后插入三角形以将2d平面划分为不相交的面。正如其他人所说，你需要对不是三角形的面进行三角测量。令人高兴的是，CGAL还提供了执行此操作的例程。 This example of constrained Delaunay triangulation是一个很好的起点。

CGAL尝试使用可实用的最有效的算法。在这种情况下，看起来你可以实现O（（n + k）log n）用于具有n个边（在你的情况下为三角形数的3倍）与k交点的布置。该算法使用称为“扫描线”的通用技术。垂直线从左到右扫描，沿途计算和处理“事件”。事件是边缘端点和交叉点。在处理每个事件时，将更新排列的单元格。

对于n个顶点，Delaunay算法通常为O（n log n）。有几种常见的算法，很容易在CGAL参考文献中查找或找到。

即使您不能在工作中使用CGAL（例如出于许可原因），文档中也充满了基础算法的来源：排列和受约束的Delaunay算法。

请注意，由于浮点错误，因此很难正确地实现安排和三角测量。强大的版本通常依赖于有理算术（CGAL中提供）。

Answer 4

我可以想到两种方法。

更通用的方法是将输入视为一组行并将问题分成两部分：

1. 多边形检测。获取初始三角形所构成的一组线，并获得一组非重叠多边形。 This paper提供O（（N + M）^ 4）方法，N是线段的数量，M是交叉点的数量，不幸的是，这看起来有点慢......
2. Polygon Triangulation。从步骤1中取出每个多边形并对其进行三角测量。这需要O（n log * n），其实际上是O（n）。

另一种方法是做自定义算法。解决交叉两个三角形的问题，将其应用于前两个输入三角形，然后对于每个新三角形，将算法应用于具有新三角形的所有当前三角形。看起来即使是两个三角形也不是那么简单，因为有几种情况（可能不是详尽无遗）：

1. 三角形的任何点都没有任何其他三角形。
   1. 没有交叉点
   2. 犹太明星
   3. 两个垂直钉鞋
2. 另一个三角形的一个点包含在另一个
中
3. 每个三角形包含另一个
的一个点
4. 一个三角形中的两个点在另一个
中
5. 一个在另一个中有三个点 - 一个是完全包含的
等等......不，这似乎不是正确的做法。无论如何都留在这里为后人。

Answer 5

为了扩展Ted Hopp的评论，首先应该计算一个平面细分，其中输出的每个有界面与A'，B'，C'，AB中的一个相关联， AC，BC，ABC或“无”。然后第二阶段对每组中的（可能是非凸的）面进行三角测量。

步骤1可以使用Bentley-Ottmann扫描线算法的变化在O（（N + K）log N）时间内执行，其中当前集合被保持为算法状态的一部分。这可以从已经越过的线段及其方向确定。

一旦完成，每组的不相交多边形可以在O（N log N）时间内被分解为单调片段，而O（N log N）时间又可以在O（N）时间内进行三角测量。

如果您还没有，请拿起de Berg等人的“计算几何：算法和应用”副本。