Question

我想用泰勒系列计算平方根。我刚刚学习了这个系列，我写了一些代码，但我不知道为什么它不起作用，也许我不应该向i提供它？请有人向我解释我做错了什么吗？

我有来自http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series#List_of_Maclaurin_series_of_some_common_functions

的公式

from math import sqrt

def factorial(n):
    result = 1
    for i in range(2, n+1):
        result *= i
    return result

def binomical(alpha, n):
    result = 1
    for i in range(0, n):
        result *= (alpha - i)
    return result / factorial(n)

for i in range(1, 10):
    x = sum(binomical(0.5, k) * i ** k for k in range(10))
    print x, sqrt(i)

Answer 1

有两个问题，一个是小问题，一个是主要问题。未成年人的扩展是根据(1+x)^alpha而不是x^alpha编写的，因此您的i**k应该是(i-1)**k。这样做会改变你的输出

1.41920471191 1.0
5.234375 1.41421356237

在哪里可以看到sqrt(1)对sqrt(2)的回答是多么可疑地关闭

1.0 1.0
1.41920471191 1.41421356237

哪个更好。不幸的是，剩余的条款仍然不是很好：

5.234375 1.73205080757
155.677841187 2.0
2205.0 2.2360679775
17202.2201691 2.44948974278
91687.28125 2.64575131106
376029.066696 2.82842712475
1273853.0 3.0

并且将术语总数从10增加到100会使事情变得更糟：

1.0 1.0
1.4143562059 1.41421356237
1.2085299569e+26 1.73205080757
3.68973817323e+43 2.0
9.21065601505e+55 2.2360679775
3.76991761647e+65 2.44948974278
2.67712017747e+73 2.64575131106
1.16004174256e+80 2.82842712475
6.49543428975e+85 3.0

但这是可以预料到的，因为当您链接的页面解释时，只有当x的绝对值小于1时，才能保证收敛。因此，我们可以很好地获得小数字的根：< / p>

>>> i = 0.7
>>> sum(binomical(0.5, k) * (i-1) ** k for k in range(10))
0.8366601005565644
>>> i**0.5
0.8366600265340756

我们可以尝试缩小规模来处理其他数字：

>>> i0 = 123.0
>>> i = i0/(20**2)
>>> sum(binomical(0.5, k) * (i-1) ** k for k in range(50))
0.5545268253462641
>>> _*20
11.090536506925282
>>> i0**0.5
11.090536506409418

或将泰勒系列带到不同的点等等。

一般的外卖是泰勒系列有radius of convergence - 可能为零！ - 他们在其中给出正确的结果。维基百科泰勒系列页面有一个关于“近似和收敛”的部分，它涵盖了这一点。

（P。在“二项式”中没有“c”。：^）

使用泰勒系列的平方根

1 个答案: