Google访谈：查找多边形的最大总和

Question

给定具有N个顶点和N边的多边形。每个顶点都有一个int数（可能是负数），每个边上都有一个集合(*,+)的运算。每次，我们从多边形中移除边E，将边(V1,V2)链接的两个顶点合并到一个值为V1 op(E) V2的新顶点。最后一种情况是两个带有两条边的顶点，结果是较大的一个。

返回可以从给定多边形获得的最大结果值。

对于最后一种情况，我们可能不需要两次合并，因为另一个数字可能是负数，所以在这种情况下我们只会返回更大的数字。

我如何解决问题：

 p[i,j] denotes the maximum value we can obtain by merging nodes from labelled i to j.
 p[i,i] = v[i] -- base case
 p[i,j] = p[i,k] operator in between p[k+1,j] , for k between i to j-1.
and then p[0,n] will be my answer.
Second point , i will have to start from all the vertices and do the same as above as this will be cyclic n vertices n edges.
The time complexity for this is n^3 *n i.e n^4 .

我可以做得更好吗？

Answer 1

正确识别（标记）后，这确实与矩阵乘法问题非常相似（为了快速完成矩阵，我将以何种顺序乘以矩阵）。

这可以使用动态算法以多项式求解。

我将改为解决一个类似的，更经典的（和相同的）问题，给定一个带有数字，加法和乘法的公式，用括号括起来的方法给出最大值，例如 6+1 * 2变为(6+1)*2，超过6+(1*2)。

让我们将a1 to an实数和o（1），... o（n-1）表示为*或+。我们的方法将如下工作，我们将观察子问题F（i，j），它代表a1，... aj的最大公式（在括号后）。我们将创建一个包含这些子问题的表，并观察F（1，n）正是我们正在寻找的结果。

定义

F(i,j)

 - If i>j return 0 //no sub-formula of negative length
 - If i=j return ai // the maximal formula for one number is the number
 - If i<j return the maximal value for all m between i (including) and j (not included) of:
     F(i,m) (o(m)) F(m+1,j) //check all places for possible parenthasis insertion

这贯穿所有可能的选择。通过对大小n = j-i的归纳来完成TProof的正确性并且非常简单。

让我们进行运行时分析：

如果我们不为较小的子问题动态保存值，则运行速度非常慢，但我们可以在O(n^3)

中使此算法的执行速度相对较快

我们创建一个* n表T，其中索引i，j处的单元格包含F（i，j）填充F（i，i）和F（i，j），其中j小于i，在O中完成（ 1）对于每个单元格，因为我们可以直接计算这些值，然后我们对角线并填充F（i + 1，i + 1）（我们可以快速完成，因为我们已经知道递归公式中的所有先前值），我们对于n个对角线（表中的所有对角线）重复这n次并且填充每个单元格需要（O（n）），因为每个单元格都有O（n）个单元格，我们用O（n ^ 2）填充每个对角线，这意味着我们填写O（n ^ 3）中的所有表。填写完表后，我们显然知道F（1，n）是你问题的解决方案。

现在回到您的问题

如果将多边形转换为n个不同的公式（一个用于从每个顶点开始）并在其上运行公式值算法，则可以获得所需的值。

Answer 2

我认为你可以减少强力搜索的需要。例如：如果有一串

x + y + z

你可以用一个值为和的顶点替换它，你不能做得更好。当你处理+ ve整数时，你需要在加法后进行乘法运算。因此，如果它都是正面的，那么只需减少所有+链然后再多变。

这样就留下了-ve数字的情况。在我看来，单个数字的策略是非常明显的，对于两个-ve数字有一些情况（记住 - x - 是正数）和超过2 -ve数字似乎变得棘手： - ）