Question

我试图通过动态编程来理解下面的矩阵乘法算法。

如果mi, j是评估产品Mi × ... × Mj的最低费用，那么：

mi，j = 0，如果i = j，
mi，j = MIN，i≤k＆lt; j {mi，k + mk + 1，j + ri-1rkrj}，如果i＆lt;学家

算法：

for i := 1 to n do
   mi,i := 0
for length := 1 to n-1 do
   for i := 1 to n-length do
      j := i + length
      mi,j = MINi≤k<j{mi,k + mk+1,j + ri-1rkrj}

关于它如何实际运作的任何线索，或者是否有人可以指出我的一个很好的参考。

Answer 1

该算法找到了乘以矩阵链的最低成本。

给定带有A行和p列的矩阵q，以及带有B行和q列的矩阵r标准矩阵乘法A·B需要p*q*r次乘法 - 对于产品的每个p×r条目，q在A的相应行的元素之间进行乘法运算相应的B列。

现在，矩阵乘法是关联的，因此您可以将产品括起来

M_1 · M_2 · … · M_n

如你所愿，它总会产生相同的结果。

现在，让r_0为M_1和r_i的行数M_i的列数（也必须是{{}的行数1}}用于定义产品。

然后M_(i+1)是M_i · … · M_k矩阵，r_(i-1)×r_k是M_(k+1) · … · M_j矩阵。因此，如果通过首先计算产品r_k×r_j和M_i · … · M_j然后将两个结果矩阵相乘来计算乘积M_i · … · M_k，则乘法的总成本为

M_(k+1) · … · M_j

其中c_{i,k} + c_{k+1,j} + r_(i-1)×r_k×r_j是所选择的计算c_{i,k}方式的费用（与M_i · … · M_k类似）。

现在，如果以最低成本评估两个子产品，那么通过c_{k+1,j}之后的拆分来评估M_i · … · M_j的最低成本显然会实现。

通过计算所有可能拆分的最低成本，可以找到评估M_k的最低成本，所以

M_i · … · M_j

代表m_{i,j} = min { m_{i,k} + m_{k+1,j} + r_(i-1)×r_k×r_j : i <= k < j }。

然后计算完整产品的最低成本，首先计算仅涉及两个矩阵的子产品的最低成本[其中只有一个可能的分割]，然后对于使用三个矩阵的子产品，我们需要只有两个矩阵的子产品的最低成本 - 这就是括号内所起作用的地方，通常会有所不同 - 然后是四等等，直到找到总计算的最低成本。

要找到产生最低成本的括号，您可以搜索最小成本数组来处理产生它的分裂[然后是两个子产品等]，但最好存储信息在i < j数组中，以最小成本和最小成本分割的位置。

Answer 2

我不喜欢复制和粘贴，我会保持简短并用自己的话说：

这个问题的关键点是：计算A * B * C只有两种可能的方式：A *（B * C）或（A * B）* C.类似地，计算A * B * C * D只有三种方式：A *（B * C * D），（A * B）*（C * D），（A * B * C）* D. （注意：（B * C * D）和（A * B * C）这里是一个子问题并且之前已经计算过了）

因此，计算M1 * M2 * ... Mn具有n-1种可能性：M1 （M2 * M3 * ... * Mn），（M！ M2）（M3 * ... * Mn），...，（M1 * M2 * ... * Mn-1）* Mn

这就是你给定的伪代码中的内容：）

使用动态规划的矩阵乘法

2 个答案: