寻找矢量之间角度测量的廉价算法

Question

找到两个向量之间的角度并不难using the cosine rule。但是，因为我正在为资源非常有限的平台编程，所以我想避免使用sqrt和arccos等计算。即使是简单的划分也应该尽可能地加以限制。

幸运的是，我本身不需要角度，但只需要一些与所述角度成比例的值。

所以我正在寻找一些计算上便宜的算法来计算与两个向量之间的角度相关的量。到目前为止，我还没有找到符合条件的东西，也没有能够自己想出一些东西。

Answer 1

如果你不需要实际的欧几里德角，但你可以用作角度比较的基础，那么改为出租车几何可能是一个选择，因为你可以放弃三角法，而且在保持精度的同时它很慢（或者至少在准确性方面略微失去准确性，见下文）。

在主要的现代浏览器引擎中，加速因子在1.44 - 15.2之间，精度几乎与atan2相同。计算钻石角度平均比atan2快5.01倍，并且在Firefox 18中使用内联代码，加速到达15.2倍。速度比较：http://jsperf.com/diamond-angle-vs-atan2/2。

代码非常简单：

function DiamondAngle(y, x)
{
    if (y >= 0)
        return (x >= 0 ? y/(x+y) : 1-x/(-x+y)); 
    else
        return (x < 0 ? 2-y/(-x-y) : 3+x/(x-y)); 
}

上面的代码给出了0到4之间的角度，而atan2给出了-PI和PI之间的角度，如下表所示：

请注意，钻石角度始终为正且在0-4范围内，而atan2也给出负弧度。因此，钻石角度更加标准化。另一个注意事项是atan2给出了更精确的结果，因为范围长度是2 * pi（即6.283185307179586），而在钻石角度它是4.实际上这不是很重要，例如。 rad 2.3000000000000001和2.3000000000000002都是钻石角度1.4718731421442295，但是如果我们通过降低一个零来降低精度，则rad 2.300000000000001和2.300000000000002给出两个不同的钻石角度。钻石角度的这种“精确松动”非常小，只有在距离很大的情况下才会产生一些重要的影响。您可以使用http://jsbin.com/bewodonase/1/edit?output（旧版本：http://jsbin.com/idoyon/1）：

进行转化

上述代码足以进行快速角度比较，但在许多情况下需要将钻石角度转换为弧度和副角度。如果你，例如。有一些公差作为弧度角，然后你有一个100,000次循环，其中这个公差与其他角度进行比较，使用atan2进行比较是不明智的。相反，在循环之前，您将弧度公差更改为出租车（钻石角度）公差，并使用金刚石公差进行环路比较，这样您就不必在代码的速度关键部分使用慢三角函数（= in循环）。

进行此转换的代码是：

function RadiansToDiamondAngle(rad)
{
  var P = {"x": Math.cos(rad), "y": Math.sin(rad) };
  return DiamondAngle(P.y, P.x);
}  

您注意到cos和sin。如您所知，它们很慢，但您不必在循环中进行转换，但在循环之前并且加速很大。

如果由于某种原因，你必须将钻石角度转换为弧度，例如。在循环并进行角度比较后返回例如。最小比较角度或任何弧度，代码如下：

function DiamondAngleToRadians(dia)
{
  var P = DiamondAngleToPoint(dia);
  return Math.atan2(P.y,P.x);
}

function DiamondAngleToPoint(dia)
{
  return {"x": (dia < 2 ? 1-dia : dia-3), 
  "y": (dia < 3 ? ((dia > 1) ? 2-dia : dia) : dia-4)};
}

这里你使用atan2，这很慢，但想法是在任何循环之外使用它。您不能通过简单地乘以某个因子将钻石角度转换为弧度，而是在出租车几何中找到一个点，其中该点与正X轴之间的钻石角度是有问题的钻石角度，并使用atan2将此点转换为弧度。 / p>

这对于快速角度比较应该足够了。

当然还有其他atan2加速技术（例如CORDIC和查找表），但是AFAIK它们都是松散的准确度，但仍然可能比atan2慢。

背景：我已经测试了几种技术：点积，内积，余弦定律，单位圆，查找表等，但在速度和精度都很重要的情况下，没有什么是足够的。最后，我在http://www.freesteel.co.uk/wpblog/2009/06/encoding-2d-angles-without-trigonometry/中找到了一个具有所需功能和原理的页面。

我首先假设也可以使用出租车距离进行准确和快速的距离比较，因为在出​​租车中，欧几里得的距离越大。我意识到与欧氏距离相反，起点和终点之间的角度对出租车距离有影响。只有长度的垂直和水平矢量可以在欧几里得和出租车之间轻松快速地转换，但在其他情况下你必须考虑角度，然后过程太慢（？）。

因此，作为结论，我认为在速度关键应用中，角度和/或距离的几个比较的循环或递归，在出租车空间和欧几里德距离（平方，不使用sqrt）中比较角度更快空间。

Answer 2

在几K的RAM和具有有限数学能力的机器的日子里，我使用了查找表和线性插值。基本思路很简单：创建一个具有所需分辨率的数组（更多元素可减少插值产生的错误）。然后在查找值之间进行插值。

处理中的

Here is an example（original dead link）。

您也可以使用其他触发功能执行此操作。在6502处理器上，这允许以一个数量级的速度增加计算全3D线框图形。

Answer 3

您是否尝试过CORDIC算法？这是一个解决极性↔矩形问题的通用框架，只有加/减/ bitshift + table，基本上是通过tan ^-1 形式的旋转（2 ^-n ） 。您可以通过改变迭代次数来折衷准确性和执行时间。

在您的情况下，将一个矢量作为固定参考，并将另一个矢量复制到临时矢量，使用朝向第一个矢量（大致二等分）的正确角度旋转，直到达到所需的角度精度。

（编辑：使用点积的符号来确定每一步是向前还是向后旋转。虽然如果乘法足够便宜以允许使用点积，那么不要打扰CORDIC，也许使用sin / cos对表来表示角度π/ 2 ⁿ 的旋转矩阵来解决二分问题。）

（编辑：我喜欢Eric Bainville在评论中的建议：将两个向量旋转到零并跟踪角度差异。）

Answer 4

在这里，我仍然没有权利发表评论（虽然我在math.se），所以这实际上是对Timo关于钻石角度的帖子的回复。

基于L1范数的钻石角度的整个概念是最有趣的，并且如果它仅仅是比较哪个矢量具有更大/更小的w.r.t.正X轴就足够了。然而，OP确实提到了两个通用向量之间的角度，并且我认为OP想要将它与用于找到平滑度/角落状态的某些容差进行比较或者像这样，但不幸的是，似乎只有jsperf.com上提供的公式或freesteel.co.uk（上面的链接）似乎不可能使用钻石角度这样做。

观察公式的渐近线实现的以下输出：

Vectors : 50,20 and -40,40
Angle diff found by acos      : 113.199
Diff of angles found by atan2 : 113.199
Diamond minus diamond         : 1.21429
Convert that to degrees       : 105.255
Rotate same vectors by 30 deg.
Vectors : 33.3013,42.3205 and -54.641,14.641
Angle diff found by acos      : 113.199
Diff of angles found by atan2 : 113.199
Diamond minus diamond         : 1.22904
Convert that to degrees       : 106.546
Rotate same vectors by 30 deg.
Vectors : 7.67949,53.3013 and -54.641,-14.641
Angle diff found by acos      : 113.199
Diff of angles found by atan2 : 113.199
Diamond minus diamond         : 1.33726
Convert that to degrees       : 116.971

所以关键是你不能做钻石（alpha）-diamond（beta）并将它与一些公差进行比较，这与你对atan2的输出不同。如果你想做的只是钻石（alpha）＆gt;钻石（beta），那么我认为钻石很好。

Answer 5

如果使用极坐标而不是笛卡尔坐标（或'以及'使用笛卡尔坐标）定义/存储矢量，解决方案将是微不足道的。

Answer 6

两个向量（x1，y1）和（x2，y2）的点积是

x1 * x2 + y1 * y2 

并且与两个向量的长度乘以它们之间角度的余弦的乘积相等。

因此，如果您首先将两个向量标准化（将坐标除以长度）

Where length of V1 L1 = sqrt(x1^2 + y1^2),  
  and length of V2 L2 = sqrt(x2^2 + y2^2),

然后归一化的载体

(x1/L1, y1/L1),  and (x2/L2, y2/L2),  

归一化向量的点积（与向量之间的角度的余弦相同）将是

 (x1*x2 + y1*y2)
 -----------------
     (L1*L2)

当然，这可能与计算余弦一样计算困难

Answer 7

如果您需要计算平方根，请考虑使用invsqrt hack。

acos((x1*x2 + y1*y2) * invsqrt((x1*x1+y1*y1)*(x2*x2+y2*y2)));

Answer 8

交叉乘积与两个矢量之间的角度成正比，当矢量归一化并且角度很小时，由于小角度近似，叉积非常接近弧度的实际角度。

具体是：

I1Q2-I2Q1与I1Q1和I2Q2之间的角度成正比。

Answer 9

dot product可能适用于您的情况。它与角度不成比例，但“相关”。