Question

我是Coq的新手。

我正在尝试实现插入排序的通用版本。我正在实现的是将Comparator作为参数的模块。此Comparator实现比较运算符（例如is_eq，is_le，is_neq等）。

在插入排序中，为了插入，我必须比较输入列表中的两个元素，并根据比较结果将元素插入到正确的位置。

我的问题是比较运算符的实现是type -> type -> prop（我需要它们来实现其他类型/证明）。如果可以避免，我宁愿不创建运算符的type -> type -> bool版本。

有没有办法将True | False道具转换成bool用于if ... then ... else条款？

比较器模块类型：

Module Type ComparatorSig.

  Parameter X: Set.
  Parameter is_eq : X -> X -> Prop.
  Parameter is_le : X -> X -> Prop.
  Parameter is_neq :  X -> X -> Prop.

  Infix "=" := is_eq (at level 70).
  Infix "<>" := (~ is_eq) (at level 70).
  Infix "<=" := is_le (at level 70).

  Parameter eqDec : forall x y : X, { x = y } + { x <> y }.

  Axiom is_le_trans : forall (x y z:X), is_le x y -> is_le y z -> is_le x z.

End ComparatorSig.

自然数的实现：

Module IntComparator <: Comparator.ComparatorSig.
  Definition X := nat.
  Definition is_le x y := x <= y.
  Definition is_eq x y := eq_nat x y.
  Definition is_neq x y:= ~ is_eq  x y.

  Definition eqDec := eq_nat_dec.

  Definition is_le_trans := le_trans.
End IntComparator.

插入排序的插入部分：

  Fixpoint insert (x : IntComparator .X) (l : list IntComparator .X) :=
    match l with
      | nil => x :: nil
      | h :: tl => if IntComparator.is_le x h then x :: h :: tl else h :: (insert x tl)
    end.

（显然，插入修复点不起作用，因为is_le返回Prop而不是bool）。

感谢任何帮助。

Answer 1

你似乎对Prop有点困惑。

is_le x y属于Prop类型，是x is less or equal to y语句。这并不能证明这种说法是正确的。证明这一陈述是正确的将是p : is_le x y，这种类型的居民（即证明该陈述的真相）。

这就是IntComparator.is_le x h上模式匹配没有多大意义的原因。

更好的界面如下：

Module Type ComparatorSig.

  Parameter X: Set.
  Parameter is_le : X -> X -> Prop.
  Parameter is_le_dec : forall x y, { is_le x y } + { ~ is_le x y }.

特别是，is_le_dec的类型是属性is_le的决策过程的类型，也就是说，它返回x <= y的证明或~ (x <= y)的证明。 1}}。由于这是一个包含两个构造函数的类型，因此您可以利用if糖：

... (if IntComparator.is_le_dec x h then ... else ...) ...

在某种意义上，这是一个增强的bool，它会为它想要决定的内容返回一个见证。有问题的类型称为sumbool，您可以在此处了解它： http://coq.inria.fr/library/Coq.Init.Specif.html#sumbool

一般来说，在执行代码时谈论True或False是没有意义的。

首先，因为它们存在于Prop中，这意味着它们无法与计算相关，因为它们将被删除。

其次，因为他们不是Prop的唯一居民。虽然true和false是类型bool的唯一值，这意味着您可以进行模式匹配，但类型Prop包含无限数量的元素（所有语句都是可以想象），因此尝试对Prop类型的元素进行模式匹配是没有意义的。

Coq - 在if ... then ... else中使用Prop（True | False）

1 个答案: