Question

我有一个关于Balanced BST的理论问题。

我想从常规Perfect Balanced Tree构建具有2^k - 1个节点的unbalanced BST。我能想到的最简单的解决方案是使用排序的Array/Linked list并递归地将数组划分为子数组，并从中构建Perfect Balanced BST。

但是，在树大小非常大的情况下，我需要创建一个相同大小的Array/List，因此这种方法会占用大量内存。

另一个选择是使用AVL旋转函数，逐个元素插入并根据树平衡因子平衡树和旋转 - 左和右子树的三个高度。

我的问题是，我对我的假设是对的吗？还有其他方法可以从不平衡的BST创建一个完美的BST吗？

Answer 1

AVL和类似的树没有完全平衡，所以我不确定它们在这种情况下是如何有用的。

您可以使用left和right指针代替forward和backward指针，从树节点构建双向链接列表。对该列表进行排序，并从下向上递归地构建树，从左到右使用列表。

构建一个大小为1的树是微不足道的：只需从列表中咬掉最左边的节点。

现在，如果您可以构建一个大小为N的树，您还可以构建一个大小为2N+1的树：构建一个大小为N的树，然后咬掉一个节点，然后构建另一个大小为N的树。单个节点将是较大树的根，两个较小的树将是其左右子树。由于列表已排序，因此树自动成为有效的搜索树。

对于2^k-1以外的尺寸，这也很容易修改。

更新：由于您是从搜索树开始的，因此您可以在O(N)时间和O(log N)空间（甚至可能在O(1)空间中直接构建一个排序列表聪明才智），并在O(N)时间和O(log N)（或O(1)）空间内自下而上构建树。

Answer 2

我还没有找到一个非常好的情况，需要一个完美平衡的搜索树。如果您的案例真的需要它，我想听听它。通常，拥有几乎平衡的树会更好更快。

如果你有一个大的搜索树，扔掉所有现有的结构通常不是一个好主意。使用旋转函数是获得更平衡树的好方法，同时保留了大部分现有结构。但通常您使用合适的数据结构来确保您永远不会有完全不平衡的树。所谓的自平衡树。

例如，AVL树，红黑树或展开树，使用稍微不同的旋转变体来保持树的平衡。

如果你真的有一个完全不平衡的树，你可能会遇到不同的问题。 - 在你旋转它的情况下，AVL方式可能是修复它的最好方法。

Answer 3

如果你受内存限制，那么你可以使用可以在O（log n）时间内在AVL树上完成的拆分和连接操作，并且我相信恒定的空间。

如果您还能够维护订单统计数据，那么您可以拆分中位数，使LHS和RHS完美，然后加入。

伪代码（递归版）将是

void MakePerfect (AVLTree tree) {

    Tree left, right;
    Data median;

    SplitOnMedian(tree, &left, &median, &right);
    left = MakePerfect(left);
    right = MakePerfect(right);
    return Join(left, median, right);
}

我相信这可以在O（n）时间和O（log n）空间中实现。

完美平衡的二进制搜索树

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