如何在Mathematica中构造一个小于n的所有Fibonacci数的列表

Question

我想写一个Mathematica函数，它构造一个小于n的所有Fibonacci数的列表。此外，我希望尽可能优雅和功能（因此没有明确的循环）。

从概念上讲，我想获取自然数的无限列表，将Fib [n]映射到它上，然后在它们小于n时从该列表中获取元素。我怎样才能在Mathematica中做到这一点？

Answer 1

第一部分可以在 Mathematica 中相当容易地完成。下面，我提供了两个函数nextFibonacci，它提供的下一个斐波纳契数大于输入数（就像NextPrime）和fibonacciList，它提供了一个小于所有斐波那契数的列表。输入数字。

ClearAll[nextFibonacci, fibonacciList]
nextFibonacci[m_] := Fibonacci[
    Block[{n}, 
        NArgMax[{n, 1/Sqrt[5] (GoldenRatio^n - (-1)^n GoldenRatio^-n) <= m, n ∈ Integers}, n]
    ] + 1
]
nextFibonacci[1] := 2;

fibonacciList[m_] := Fibonacci@
    Range[0, Block[{n}, 
      NArgMax[{n, 1/Sqrt[5] (GoldenRatio^n - (-1)^n GoldenRatio^-n) < m, n ∈ Integers}, n]
    ]
]

现在你可以做以下事情：

nextfibonacci[15]
(* 21 *)

fibonacciList[50]
(* {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34} *)

第二部分虽然很棘手。您正在寻找的是Haskell类型的惰性求值，它只会在必要时进行评估（否则，您无法在内存中保留无限列表）。例如，像（在Haskell中）：

fibs = 0 : 1 : zipWith (+) fibs (tail fibs)

然后允许你做

之类的事情

take 10 fibs
-- [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34]

takeWhile (<100) fibs
-- [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89]

不幸的是，没有内置的支持你想要的东西。但是，您可以扩展 Mathematica 以实现惰性样式列表，如this answer所示，它也是implemented as a package。既然你已经拥有了所需的所有部分，我会让你自己解决这个问题。

Answer 2

如果您从GitHub抓取我的Lazy package，您的解决方案就像：

一样简单

Needs["Lazy`"]
LazySource[Fibonacci] ~TakeWhile~ ((# < 1000) &) // List

如果您希望稍微更实际地实现原始描述

  

从概念上讲，我想获取自然数的无限列表，将Fib [n]映射到它上，然后在它们小于n时从该列表中获取元素。

你可以这样做：

Needs["Lazy`"]
Fibonacci ~Map~ Lazy[Integers] ~TakeWhile~ ((# < 1000) &) // List

要证明这是完全懒惰的，请尝试前面的示例而不使用// List。你会看到它以（相当丑陋的）形式停止：

LazyList[First[ 
  LazyList[Fibonacci[First[LazyList[1, LazySource[#1 &, 2]]]], 
   Fibonacci /@ Rest[LazyList[1, LazySource[#1 &, 2]]]]], 
 TakeWhile[
  Rest[LazyList[Fibonacci[First[LazyList[1, LazySource[#1 &, 2]]]], 
    Fibonacci /@ Rest[LazyList[1, LazySource[#1 &, 2]]]]], #1 < 
    1000 &]]

这包含一个LazyList[]表达式，其第一个元素是您懒惰评估的表达式的第一个值，其第二个元素是如何继续扩展的说明。

改进

持续不断地调用Fibonacci[n]会有点低效，特别是当n开始变大时。实际上可以构造一个惰性生成器，它将在流式传输时计算Fibonacci序列的当前值：

Needs["Lazy`"]

LazyFibonacci[a_,b_]:=LazyList[a,LazyFibonacci[b,a+b]]
LazyFibonacci[]:=LazyFibonacci[1,1]

LazyFibonacci[] ~TakeWhile~ ((# < 1000)&) // List

最后，我们可以将其概括为一个更抽象的生成函数，该函数为累加器获取初始值，List Rule来计算下一步的累加器值以及{ {1}} List来计算当前累加器值的结果。

Rule

可以用它来生成Fibonacci序列，如下所示：

LazyGenerator[init_, step_, extract_] := 
 LazyList[Evaluate[init /. extract], 
  LazyGenerator[init /. step, step, extract]]

Answer 3

好的，我希望我理解这个问题。但请注意，我不是纯数学专业，我是机械工程专业的学生。但这听起来很有趣。所以我查看了公式，这就是我现在能想到的。我必须跑，但如果有错误，请告诉我，我会解决它。

此操作要求n，然后列出小于n的所有斐波纳契数。没有循环可以找到少于n的Fibonacci数。它使用Reduce来求解小于n的斐波那契数。我在结果中发言，并且还在解决方案中提出了一个复杂的乘数。

然后使用Mathematica Fibonacci命令简单地创建所有这些数字的表格。因此，如果您输入n=20，则会列出1,1,2,3,5,8,13，依此类推。因为内存不足（我的电脑上只有8 GB的内存），我可以无限制地使用它。

我将n的限制设为500000随意编辑代码并进行更改。

Manipulate[
 Module[{k, m}, 
  k = Floor@N[Assuming[Element[m, Integers] && m > 0, 
        Reduce[f[m] == n, m]][[2, 1, 2]] /. Complex[0, 2] -> 0];
  TableForm@Join[{{"#", "Fibonacci number" }}, 
    Table[{i, Fibonacci[i]}, {i, 1, k}]]
  ],

  {{n, 3, "n="}, 2, 500000, 1, Appearance -> "Labeled", ImageSize -> Small}, 
  SynchronousUpdating -> False, 
  ContentSize -> {200, 500}, Initialization :>
  {
   \[CurlyPhi][n_] := ((1 + Sqrt[5])/2)^n;
   \[Psi][n_] := -(1/\[CurlyPhi][n]);
   f[n_] := (\[CurlyPhi][n] - \[Psi][n])/Sqrt[5];
   }]

屏幕截图

Answer 4

Fibonacci数字Fk的索引k是k=Floor[Log[GoldenRatio,Fk]*Sqrt[5]+1/2]]， https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number。因此，小于或等于 n的斐波纳契数列表是

 FibList[n_Integer]:=Fibonacci[Range[Floor[Log[GoldenRatio,Sqrt[5]*n+1/2]]]]