Question

好吧，我正在研究Haskell Monads。当我阅读Wikibook Category theory文章时，我发现monad态射的签名看起来很像逻辑中的重言式，但你需要将M a转换为~~A，这里~是逻辑否定。

return :: a -> M a -- Map to tautology A => ~~A, double negation introduction
(>>=) :: M a -> (a -> M b) -> M b -- Map to tautology ~~A => (A => ~~B) => ~~B

其他操作也是重言式：

fmap :: (a -> b) -> M a -> M b -- Map to (A => B) -> (~~A => ~~B)
join :: M (M a) -> M a -- Map to ~~(~~A) => ~~A

还可以理解，根据正常函数语言的Curry-Howard对应关系是直观逻辑而非经典逻辑的事实，我们不能指望像~~A => A这样的重言式可以有对应关系。 / p>

但我正在考虑别的事情。为什么Monad只能与双重否定相关？单一否定的对应关系是什么？这引出了以下类定义：

class Nomad n where
    rfmap :: (a -> b) -> n b -> n a
    dneg :: a -> n (n a)

return :: Nomad n => a -> n (n a)
return = dneg
(>>=) :: Nomad n => n (n a) -> (a -> n (n b)) -> n (n b)
x >>= f = rfmap dneg $ rfmap (rfmap f) x

这里我定义了一个名为“Nomad”的概念，它支持两种操作（都与直觉逻辑中的逻辑公理相关）。请注意，名称“rfmap”表示其签名与仿函数fmap类似，但a和b的顺序在结果中相反。现在我可以用它们重新定义Monad操作，将M a替换为n (n a)。

现在让我们回到问题部分。 Monad是一个来自范畴理论的概念，这似乎意味着我的“Nomad”也是一个范畴理论概念。那是什么？它有用吗？这个主题是否有任何论文或研究成果？

Answer 1

双重否定是特定的 monad

data Void --no constructor because it is uninhabited

newtype DN a = DN {runDN :: (a -> Void) -> Void}

instance Monad DN where
   return x = DN $ \f -> f x
   m >>= k  = DN $ \c -> runDN m (\a -> runDN (k a) c))

实际上，这是更一般的monad

的一个例子

type DN = Cont Void
newtype Cont r a = Cont {runCont :: (a -> r) -> r}

这是继续传球的单子。

像“monad”这样的概念不是仅仅通过签名来定义，而是通过某些定律来定义。所以，这是一个问题，你的建筑法律应该是什么？

(a -> b) -> f b -> f a

是类别理论众所周知的方法的签名，逆变函子。它遵循与仿函数基本相同的规律（保留（共同）构成和身份）。实际上，逆变函子恰好是对立类的一个算符。由于我们对应该是endo-functors的“haskell仿函数”感兴趣，我们可以看到“haskell逆变仿函数”是一个仿函数Hask -> Hask_Op。

另一方面，

怎么样？

a -> f (f a)

这应该是什么法律？我有个建议。在类别理论中，可以在Functors之间进行映射。鉴于F, G中的两个仿函数，从C类到D类，从F到G的自然转换是一种态射在D

forall a. F a -> G a

遵守某些连贯性法律。您可以使用自然变换做很多事情，包括使用它们来定义“仿函数类别”。但是，经典的笑话（由于Mac Lane）是因为发明类别是为了讨论仿函数，发明仿函数是为了谈论自然变换，而自然变换被发明来讨论 adjunctions 。

如果存在两个自然变换，仿函数F : D -> C和仿函数G : C -> D形成从C到D的附属物

unit : Id -> G . F
counit : F . G -> Id

这种附属概念是理解monad的常用方法。每个附属物都以完全自然的方式产生一个单子。也就是说，由于这两个仿函数的组合是一个endofunctor，并且你有类似返回（单位）的东西，你只需要连接。但这很容易，加入只是一个函数G . F . G . F -> G . F，你可以通过使用“在中间”的方式获得。

那么，有了这一切，你在寻找什么？好吧

dneg :: a -> n (n a)

看起来与逆变函子的自身的unit完全相同。因此，你的Nomad类型很可能（当然，如果你使用它来构造一个monad是正确的）与“自伴的逆变函子”完全相同。搜索自伴函子会让你回到Double-negation和Continuation传递......这就是我们开始的地方！

编辑：几乎可以肯定，上面的一些箭头是倒退的。不过，基本的想法是正确的。您可以使用下面的引文自行解决：

关于范畴理论的最佳书籍可能是，

Steve Awodey，分类理论
Sanders Mac Lane，工作数学家的类别

尽管存在许多更平易近人的介绍书，包括Benjamin Pierces关于计算机科学家类别理论的书。

在线视频讲座

来自Oregon Programming Language Summer School
Catsters在youtube上的简短讲座indexed here，特别关注附录上的视频

许多论文探讨了连续monad的附加角度，例如

Hayo Thielecke，延续语义和自我意识

搜索词“self adjoint”，“continuation”和“monad”都很好。此外，一些博客撰写了关于这些问题的文章。如果你谷歌“monad来自哪里”，你可以从n类咖啡馆获得有用的结果，如this one，或者从sigfpe获得this one。也是Sjoerd Vissche对Comonad读者的link。

Answer 2

那将是一个自伴的逆变函子。 rfmap提供逆变函子部分，dneg是附加函数的单位和对象。

Op r是一个示例，它创建了continuation monad。有关代码，请参阅http://hackage.haskell.org/package/adjunctions中的逆变模块。

你应该阅读http://comonad.com/reader/2011/monads-from-comonads/，这是相关且非常有趣的。

是否有一种称为“半单子”或“反单子”的东西？

2 个答案: