Question

我有一个大矩阵作为输入，我有一个较小矩阵的大小。我必须计算所有可能的较小矩阵的总和，这些矩阵可以用更大的矩阵形成。

实施例。输入矩阵大小：4×4

矩阵：

输入较小的矩阵大小：3×3（不一定是正方形）

可能的小矩阵：

他们的总和，最终输出

14 18 22
29 22 15
18 18 18

我这样做了：

int** matrix_sum(int **M, int n, int r, int c)
{
    int **res = new int*[r];
    for(int i=0 ; i<r ; i++) {
        res[i] = new int[c];
        memset(res[i], 0, sizeof(int)*c);
    }

    for(int i=0 ; i<=n-r ; i++)
    for(int j=0 ; j<=n-c ; j++)
    for(int k=i ; k<i+r ; k++)
    for(int l=j ; l<j+c ; l++)
    res[k-i][l-j] += M[k][l];

    return res;
}

我想这太慢了，有人可以建议更快的方式吗？

Answer 1

您当前的算法是O（（m - p）*（n - q）* p * q）。最坏的情况是当p = m / 2且q = n / 2时。

我要描述的算法将是O（m * n + p * q），无论p和q如何，它都是O（m * n）。

该算法包括两个步骤。

让输入矩阵A的大小为m x n，窗口矩阵的大小为p x q。

首先，您将创建一个与输入矩阵大小相同的预先计算的矩阵B.预先计算的矩阵B的每个元素包含子矩阵中所有元素的总和，其左上角元素位于原始矩阵的坐标（1,1）处，而右下角元素位于与我们正在计算的元素。

B[i, j] = Sum[k = 1..i, l = 1..j]( A[k, l] ) for all 1 <= i <= m, 1 <= j <= n

这可以在O（m * n）中完成，通过使用此关系计算O（1）中的每个元素：

B[i, j] = B[i - 1, j] + Sum[k = 1..j-1]( A[i, k] ) + A[j] for all 2 <= i <= m, 1 <= j <= n

B[i - 1, j]，这是我们正在计算的子矩阵的所有内容，除了当前行，之前已经计算过。保留当前行的前缀和，以便您可以使用它来快速计算当前行的总和。

这是使用2D前缀sum的属性计算O（1）中B[i, j]的另一种方法：

B[i, j] = B[i - 1, j] + B[i, j - 1] - B[i - 1, j - 1] + A[j] for all 1 <= i <= m, 1 <= j <= n and invalid entry = 0

然后，第二步是计算大小为p x q的结果矩阵S.如果你做一些观察，S [i，j]是矩阵大小（m - p + 1）*（n - q + 1）中所有元素的总和，其左上角坐标是（i，j）和右下角是（i + m - p + 1，j + n - q + 1）。

使用预先计算的矩阵B，您可以计算O（1）中任何子矩阵的总和。应用它来计算结果矩阵S：

SubMatrixSum(top-left = (x1, y1), bottom-right = (x2, y2))
     = B[x2, y2] - B[x1 - 1, y2] - B[x2, y1 - 1] + B[x1 - 1, y1 - 1]

因此，第二步的复杂性将为O（p * q）。

最终的复杂性如上所述，O（m * n），因为p <= m且q <= n。

更大矩阵的子矩阵之和

1 个答案: