Levenshtein与特定数字组的距离

Question

我的输入是三个数字 - s的数字b以及e范围的结束0 <= s,b,e <= 10^1000。任务是找到s与范围[b, e]中所有数字之间的最小Levenstein距离。没有必要找到最小化距离的数字，最小距离就足够了。

显然我必须将数字作为字符串读取，因为标准C ++类型不会处理如此大的数字。计算可能在很大范围内的每个数字的Levenstein距离是不可行的。

有什么想法吗？

Answer 1

[编辑10/8/2013：DP算法中考虑的一些案例实际上并不需要考虑，但考虑到它们不会导致错误：）] < / p>

在下文中，我描述了一个采用O（N ^ 2）时间的算法，其中N是b，e或s中任何一个中数字的最大数量。由于所有这些数字都限制在1000位，这意味着最多只有几百万个基本操作，在任何现代CPU上都需要毫秒。

假设s有n位数。在下面，＆＃34;之间＆＃34;意味着＆＃34;包容性＆＃34 ;;我会严格地说＆＃34;＆＃34;如果我的意思是＆＃34;排除其端点＆＃34;。指数以1为基础。 x [i]表示x的第i位，例如x [1]是它的第一个数字。

解决问题

首先要做的是将问题分解为一系列子问题，其中每个b和e具有相同的位数。假设e的k> = 0比s更多的数字：将问题分解为k + 1个子问题。例如。如果b = 5且e = 14032，则创建以下子问题：

• b = 5，e = 9
• b = 10，e = 99
• b = 100，e = 999
• b = 1000，e = 9999
• b = 10000，e = 14032

我们可以解决这些子问题，并采用最小的解决方案。

简单案例：中间

简单的案例就是中间的案例。每当e具有比b更多的k> = 1的数字时，将存在k-1个子问题（例如上面的3个），其中b是10的幂，e是10的下一个幂，减1.假设b是10 ^米注意，选择1到9之间的任何数字，然后是0到9之间的任何m个数字，产生的数字x在b <= x <= e的范围内。此外，在这个范围内没有数字不能以这种方式生产。 s之间的最小Levenshtein距离（或实际上任何给定的长度为n的数字字符串，不以0开头）和任何数字x在10 ^ m <= x＆lt的范围内; = 10 ^（m + 1）-1必然是abs（m + 1-n），因为如果m + 1> = n，则可以简单地选择x的前n个数字是相同的作为s中的那些，并删除余数，如果m + 1＆lt;然后选择第一个m + 1与s中的相同，并插入余数。

事实上，我们可以在一次固定时间操作中处理所有这些子问题：如果最小的＆＃34; easy＆＃34;子问题有b = 10 ^ m，最大的＆＃34; easy＆＃34;子问题具有b = 10 ^ u，则s与任何这些范围中的任何数之间的最小Levenshtein距离是m-n，如果n <1。 m，n-u如果n>你，否则为0。

困难案例：结束

硬情况是当b和e不限于分别具有b = 10 ^ m和e = 10 ^（m + 1）-1的形式时。任何主要问题都可以产生这样的最多两个子问题：两个＆＃34;结束＆＃34; （由主要问题产生，其​​中b和e具有不同的数字位数，例如顶部的示例）或单个子问题（即主要问题本身，其根本不需要细分，因为b并且e已经有相同的位数）。请注意，由于先前分解问题，我们可以假设子问题的b和e具有相同的位数，我们称之为m。

超级莱文斯坦！

我们要做的是设计一个Levenshtein DP矩阵的变体，用于计算给定数字串与任何数x之间的最小Levenshtein距离，其范围为b <= x＆lt; ; = e。尽管添加了＃34; power＆＃34;，算法仍将在O（n ^ 2）时间运行：）

首先，观察如果b和e具有相同的位数并且b！= e，那么它必须是由左边的相同数字的一些数字q> = 0组成的情况，接着是e中的数字大于b中的数字。现在考虑以下用于生成随机数字串x的过程：

1. 将x设为b的前q位数。
2. 在b [i]和e [i]之间附加一个随机选择的数字d到x。
3. 如果d == b [i]，我们＆＃34;拥抱＆＃34;下限：
   • 对于i从q + 1到m：
     • 如果b [i] == 9则附加b [i]。 [编辑10/8/2013：实际上这不可能发生，因为我们选择q使e [i]大于b [i]，并且没有大于9的数字！] < /强>
     • 否则，翻硬币：
       • 负责人：附加b [i]。
       • 尾巴：附加随机选择的数字d＆gt; b [i]，然后转到6。
   • 停止。
4. 如果d == e [i]，我们＆＃34;拥抱＆＃34;上限：
   • 对于i从q + 1到m：
     • 如果e [i] == 0则附加e [i]。 [编辑10/8/2013：实际上这不会发生，因为我们选择q使得b [i]会小于e [i]，并且没有小于0的数字！] < /强>
     • 否则，翻硬币：
       • 负责人：追加e [i]。
       • 尾巴：附加随机选择的数字d＆lt; e [i]，然后转到6。
   • 停止。
5. 否则（如果d严格在b [i]和e [i]之间），请转到步骤6.
6. 将随机选择的数字附加到x，直到它有m位数。

基本思路是，在包含您必须包含的所有数字后，您可以拥抱＆＃34;拥抱＆＃34;只要你想要的下限数字，或者＃34;拥抱＆＃34;您想要的上限数字，一旦您决定停止＆＃34;拥抱＆＃34;，您可以随后选择您想要的任何数字。对于合适的随机选择，该过程将生成所有且仅生成数字x，使得b <= x <= e。

在＆＃34;通常＆＃34; Levenshtein距离计算两个字符串s和x之间，长度分别为n和m，我们有一个从（0,0）到（n，m）的矩形网格，在每个网格点（i，j）我们记录Levenshtein距离在前缀s [1..i]和前缀x [1..j]之间。 （i，j）的得分是使用自下而上动态编程从（i-1，j），（i，j-1）和（i-1，j-1）的得分计算的。为了使其适应x作为一组可能的字符串之一（具体而言，对应于b和e之间的数字的数字字符串）而不是特定的给定字符串，我们需要做的是记录每个网格点不是一个而是两个分数：一个是我们假设选择位置j的数字来拥抱下限的情况，另一个是我们假设选择拥抱上限的情况。第三种可能性（上面的步骤5）实际上并不需要DP矩阵中的空间，因为我们可以立即计算出输入字符串的其余部分的最小Levenshtein距离，非常类似于我们为其工作的方式。 ＆＃34;易＆＃34;第一部分的子问题。

Super-Levenshtein DP递归

在网格点（i，j）v（i，j）处调用总体最小分数。如果字符a和b不同，则设diff（a，b）= 1，否则设为0。如果字符a在b..c范围内，则将inrange（a，b..c）设为1，否则设为0。计算结果如下：

# The best Lev distance overall between s[1..i] and x[1..j]
v(i, j) = min(hb(i, j), he(i, j))

# The best Lev distance between s[1..i] and x[1..j] obtainable by
# continuing to hug the lower bound
hb(i, j) = min(hb(i-1, j)+1, hb(i, j-1)+1, hb(i-1, j-1)+diff(s[i], b[j]))

# The best Lev distance between s[1..i] and x[1..j] obtainable by
# continuing to hug the upper bound
he(i, j) = min(he(i-1, j)+1, he(i, j-1)+1, he(i-1, j-1)+diff(s[i], e[j]))

在计算v（i，j）的时间点，我们还将计算Levenshtein距离，这是因为选择＆＃34;停止拥抱＆＃34;，即通过选择严格介于两者之间的数字b [j]和e [j]（如果j == q）或（如果j！= q）高于b [j]或低于e [j]，此后自由选择数字使x的后缀匹配s的后缀尽可能接近：

# The best Lev distance possible between the ENTIRE STRINGS s and x, given that
# we choose to stop hugging at the jth digit of x, and have optimally aligned
# the first i digits of s to these j digits
sh(i, j) = if j >= q then shc(i, j)+abs(n-i-m+j)
           else infinity

shc(i, j) = if j == q then
              min(hb(i, j-1)+1, hb(i-1, j-1)+inrange(s[i], (b[j]+1)..(e[j]-1)))
            else
              min(hb(i, j-1)+1, hb(i-1, j-1)+inrange(s[i], (b[j]+1)..9),
                  he(i, j-1)+1, he(i-1, j-1)+inrange(s[i], (0..(e[j]-1)))

shc（i，j）的公式不需要考虑＆＃34;向下＆＃34;移动，因为这些移动不涉及x的任何数字选择。

总的最小Levenshtein距离是v（n，m）和sh（i，j）的最小值，对于所有0 <= i <= n且0 <= j <= m。

复杂性

将N设为s，b或e中任意一个的最大位数。原始问题可以在线性时间内分成最多1组简单问题，这些问题共同花费O（1）时间来解决，2个硬子问题每个需要O（N ^ 2）时间来使用超Levenshtein算法求解，总的来说，问题可以在O（N ^ 2）时间内解决，即时间与数字的平方成正比。

Answer 2

加速计算的第一个想法（如果|e-b|不太大，则有效）：

• 问题：当我们将s与n然后与n+1进行比较时，Levestein距离会改变多少？

• 答案：不要太多！

让我们看一下s = 12007和两个连续n的动态规划表

n = 12296

0 1 2 3 4 5 
1 0 1 2 3 4 
2 1 0 1 2 3 
3 2 1 1 2 3 
4 3 2 2 2 3 
5 4 3 3 3 3 

和

n = 12297

0 1 2 3 4 5 
1 0 1 2 3 4 
2 1 0 1 2 3 
3 2 1 1 2 3 
4 3 2 2 2 3 
5 4 3 3 3 2 

正如您所见，只有最后一列更改，因为n和n+1的数字相同，但最后一列除外。

如果您拥有s = 12001和n = 12296编辑距离的动态编程表，那么您已经拥有了n = 12297的表格，您只需要更新最后一列！

显然，如果n = 12299然后n+1 = 12300并且您需要更新上一个表的最后3列..但这种情况每100次迭代就会发生一次。

一般来说，你必须

• 更新每次迭代的最后一列（因此，长度（s）单元格）
• 同样更新倒数第二次，每10次迭代一次
• 每隔100次迭代更新第三个也是最后一次

所以请L = length(s)和D = e-b。首先，您计算s和b之间的编辑距离。然后，您可以找到在[b,e]上的最小Levenstein距离，该距离在区间中的每个整数上循环。其中有D个，因此执行时间大约为：

现在

我们有一个算法