当我发现无法处理的问题时，我正在学习测试：
设计处理（关闭）间隔的数据结构 将提供三个操作：
插入（x，y） - 添加区间[x，y]
删除（x，y） - 删除区间[x，y]
Count（x，y） - 计算区间[x，y]
中纯粹包含的区间数x，y是从1到n的整数。所有操作最多可以花费O（（log n） 2 ）
有人可以帮忙吗？
答案 0 :(得分：4)
这可以在O（log ^ 2 n）时间和O（nlog n）空间中使用 Fenwick Tree 和基于的数据结构的组合来解决segment tree ，其中包含每个节点内的内部树。前者用于有效地查找和更新给定范围内的点数;后者用于有效地查找和更新跨越给定点的段的计数。基本思想是计算给定查询范围内的段端点，然后调整跨越任一端点或两个端点的段。
该算法基于以下观察：对于给定的查询范围（a，b），
nContained =（h - nStraddlingOne）/ 2
其中nContained是（a，b）包含的区间数，h是（a，b）中任意一种（开始或结束）的区间端点数，nStraddlingOne是包含任一区间的数量。只有一个或只有一个。 ＆＃34;数据库＆＃34;任何时候的间隔在这里称为D.
Fenwick树允许您使用O（n）表计算O（log n）时间内两个整数索引（a，b）之间的总点数。它还允许O（log n）插入和删除。我们将每个间隔的两个端点添加到它，并使用它来计算O（log n）时间中的h。
我们的其他数据结构与段树非常相似，但有两个主要区别：我们不是从输入的一组区间推断区间的起点和终点，而是将端点集合作为每个可能的整数介于1和n之间，并且没有＆＃34;开放集＆＃34; （这是为了简化以后添加新的间隔）;并且我们以特定方式存储每个节点的间隔。
为简单起见，假设n是2的幂（如果它不是，则只选择2的下一个最大幂 - 这将导致小于n的增加，因此时间复杂度赢得了＆＃39;改变）。令T为完整的二叉树，其具有用于每个位置1＆lt; = i＆lt; = n的叶节点。 （该树总共有2n - 1个节点。）每个叶节点代表一个单独的位置。每个非叶节点表示其下所有叶节点的位置的并集，其必须形成长度为2的幂的区间。调用由节点v Int（v）表示的区间。 （注意：因为这个二叉树是完整的，所以它可以表示＆＃34;隐含地＆＃34;二进制堆通常是这样，以节省空间。）
对于T的每个节点v，对应一组称为Span（v）的间隔。 （我们实际上只会存储他们最右边的端点。）Span（v）是D中所有区间的集合
在每个顶点v中，我们只将Span（v）中间隔的最右端点存储在由此端点排序的自平衡二进制树中，并且每个节点都是增加了后代节点的数量。 即＆＃34;外部＆＃34;的每个节点树包含一个＆＃34;内部＆＃34; 这是必要的，这使我们能够有效地计算完全包含给定查询间隔的间隔数。
段树上的基本查询操作是确定包含给定点x的区间集，并且这很容易更改为计数而不是报告单个区间。操作很简单：将v设置为root，
给定查询间隔（a，b），上述查询可以执行两次，一次为a，一次为b。将nStraddlingAtLeastOne设置为两个查询的计数总和。请注意，对于每个节点，可以在O（1）时间内完成计数 - 它只是存储Span（v）的自平衡二叉树的根节点的计数字段。
难度（以及最终阻碍我花费一些时间的O（log n）算法的早期尝试）是我们还需要计算同时跨越两者的间隔数查询的端点（a，b）。为此，我们再次从root开始，并对（查询的起点）执行修改后的查询，其中步骤1替换为：
由于自平衡二叉树，该计数步骤可以在O（log n）时间内执行。由于每个树级别最多需要2个这些计数操作，因此这是将时间复杂度推高到O（log ^ 2 n）的部分。将nContaining设置为此查询的总计。我们可以使用
计算nStraddlingOnenStraddlingOne = nStraddlingAtLeastOne - nContaining
使用nStraddlingOne和从Fenwick树计算的h，我们现在可以根据顶部的等式计算nContained。
更新也是O（log ^ 2 n），因为更新Fenwick树是O（log n），并且向段树添加间隔（x，y）需要使用O（log ^ 2 n）时间以下算法，从根处的v开始：
上述遍历仅访问分段树中的O（log n）个节点，因为添加的每个间隔将出现在任何树级别最多2个节点的间隔集中，每个最大2log（n）空间使用量间隔。请参阅the Wikipedia page on Segment Trees以获取证明和进一步说明。删除间隔使用类似的算法。在节点处每次插入或移除到自平衡二叉树时需要O（log n）时间，总计为O（log ^ 2 n）时间。
空间使用是O（nlog n），因为在段树中存在O（log n）树级别，每个树级别可能需要空间用于包含每个可能端点的内部树节点的2个实例。特别要注意的是，即使存在O（n ^ 2）个可能的不同区间，我们也只存储每个区间的最右端点，因此这不是问题。此外，因为我们存储计数，添加现有间隔的第二个副本只会导致计数增加 - 它不会导致任何新的节点分配。 Fenwick树仅使用O（n）空间。
答案 1 :(得分：1)
见Range Tree。查询的时间复杂度被称为O（log d n + k）。这里d是维度，n是树中存储的点数，k是查询点报告的点数。
但我们只需要计算而不报告积分。因此，我认为如果在每个节点上维持子节点数（实际上叶子的数量，因为真实点存储在叶子中），则可以消除该k，留下O（log 2 n）。插入和删除也是O（log 2 n）。
答案 2 :(得分：0)
一个区间树适合这里，例如https://github.com/ekg/intervaltree/blob/master/IntervalTree.h看到这个代码，它提供了一个看起来像O（log（n））的findContained，除了那个删除更复杂但是肯定可以在O（log）中完成（n））的 http://en.wikipedia.org/wiki/Interval_tree#Deletion
答案 3 :(得分：0)
有时可以使用简单的排序集：
- 数据集中的间隔具有一些已知的最大长度，
- 此外，与集合中x个数据点的总值范围相比，此最大长度不会太大。
在这种情况下，只需使用简单的有序集就足够了：
- 仅使用间隔的x dimension为其添加间隔。
- 像这样查询：get intervals with their x dimension in range [x', y'] and then filter out the few intervals that have their y dimension crossing the y' limit。
鉴于具有已知最大长度的数据属性的上述相同前提条件，此逻辑可以扩展为执行区间树类查询，其中查询不在“区间”内要求“数据纯粹包含”，而是要求“数据重叠给定间隔”。在这种情况下，查询将是：
- get intervals with their x dimension in range [x' - maximum interval range, y' + maximum interval range] and then filter out the few intervals that actually are outside of requested range。