Question

在类别理论中，仿函数是两个类别之间的同态。在Haskell中，它说 applicative functor 允许我们在函子内部应用函数。是否可以将“函数内的函数”转换回数学或提供其他一些见解？（我知道仿函数可以是Maybe，[]等，但仍然难以理解这个概念。）

Answer 1

我的类别理论根本不强（我从Haskell的编程方面开始，最近一直试图学习其某些概念的类别理论基础）。但这就是我所拥有的：

在Haskell中，仿函数是一种类型构造函数，这意味着它从一般类型映射到“仿函数中的类型”。

在类别理论中，仿函数从一个类别的对象映射到另一个类别的对象。

在将类别理论应用于Haskell时，我们想象我们正在使用类别 Hask ，即Haskell类型的类别。

所以Haskell仿函数不是一般的类别理论仿函数;它们都从 Hask 映射到 Hask 的子类别（因为某个仿函数f a的类型f和任意类型{{1} } 仍然是 Haskell类型）。例如，a仿函数将 Hask 中的对象（类型）映射到Maybe形式的类型类别。

函数在Haskell中是一流的，因此函数类型是完全普通的类型（并且是 Hask 的对象）所以函子也将函数类型映射到“函数类型仿函数“。因此，短语“仿函数中的函数”是一种类型中值的简写，其类型是将仿函数应用于函数类型。例如Maybe a是Just (+1)类型中的一个特定值，它是Maybe (Int -> Int)仿函数将对象Maybe映射到的对象（类型）。

因此，“applicative functor”是一个带有一些额外规则的仿函数，这些规则足以获取 values ，它们是作为仿函数“目标”类别对象的类型的函数，并应用于值到目标类别中其他类型的值。

再次使用Int -> Int作为示例，如果我们只知道它是一个仿函数，它可以让我们在对象Maybe和Int -> Char之间以及对象{{1}之间建立对应关系}和Maybe (Int -> Char)，以及对象Int和Maybe Int之间。但是，虽然我们可以使用Char中的值和Maybe Char中的值并在Int -> Char中生成值，但Int作为仿函数并不能保证我们能够使用Char中的值和Maybe中的值执行相应的操作。

当我们也知道它是一个应用仿函数时，我们确实能够在Maybe (Int -> Char)中获取值并在Maybe Int中获取值，并在Maybe (Int -> Char)中生成一个值，这样通过将Maybe Int值应用于Maybe Char值来满足某些属性。

据我所知，从纯粹的类别理论角度来看，应用仿函数并不是非常有趣。也许这是因为类别理论关注对象之间的关系，它们对应于Haskell中的类型，但是从编程角度来看，应用函子是由这些类型中的值之间的关系驱动的。？（我们希望通过使用仿函数获得的“函数类型”中的值仍然可以应用于要进行计算的事物。）

Answer 2

翻译回数学

在闭合的幺半群类别中，存在“指数”的概念，其“内化”态射关系。然后，您可以评估这些指数。也就是说，你有一种说法（借口我的想法，Stackoverflow缺少mathjax）

eval : (a ~> b,a) -> b

以及currying和uncurrying的元操作 “applicative functor”以“适用”的方式映射指数，F (a ~> b)可以与F a合并以获得F b。这是因为applicative functor是monoidal functor，所以它们有一个操作（在目标类别中）

f a -> f b -> f (a,b)

当你也使用fmap eval从Haskell给你ap时。

我怀疑那是有用的，

Haskell

理解应用仿函数的最佳方法是查看类型

class Functor f => Applicative f where
  pure :: a -> f a
  <*>  :: f (a -> b) -> f a -> f b

这个简单的例子是

newtype Id a = Id a
instance Applicative Id where
  pure a = Id a
  Id f <*> Id a = Id (f $ a)

Id也是Monad。事实上，所有Monad都是Applicative。

pure = return
mf <*> mx = do f <- mf
               x <- mx
               return (f x)

一个更有趣的例子是无限序列

data Seq a = Seq a (Seq a)
instance Applicative Seq where
  pure a = Seq a (pure a)
  (Seq f fs) <*> (Seq x xs) = Seq (f x) (fs <$> xs)

您可以将此视为与列表中的zipWith $等效。所有Monad都是Applicative，但我认为无限序列很有趣，因为相应的monad实例是......非常明显（而且相当慢）。这将留给读者一个练习（顺便说一句，我正在从我记得读过的东西看这个例子/练习，我认为Pigworker在这个网站上写道）。

什么意味着“在函子内部的功能”

2 个答案: