Question

Johnny需要为他的物理课项目制作一个矩形框。他买了P厘米的电线和S cm2的特殊纸。他想用所有的电线（12个边缘）和纸张（6个边）制作盒子。

Johnny可以制作的最大音量是多少？

输入

第一行包含t，测试用例数（约10）。然后是t测试案例。   每个测试用例在一行中包含两个整数P和S（1≤P≤40000，1≤S≤20000）。您可以假设对于给定的输入案例总是存在最佳解决方案。

输出

对于每个测试用例，打印一个实数，该数字是Johnny可以制作的最大音量，四舍五入到小数点后两位。

示例输入：

2
20 14
20 16

输出：

3.00
4.15

输出详情

第一种情况：最大框的尺寸可以是3,1和1.

第二种情况：最大盒子的尺寸可能是7 / 3,4 / 3和4/3。

这是来自www.codechef.com的练习题。名称是“The Best box”。我不想要这个代码。我想知道的是我们如何解决这个问题？任何帮助，将不胜感激。提前谢谢。

Answer 1

您实际上是在尝试解决：

maximize V=a*b*c

subject to constraints:

4a+4b+4c = P 
2ab + 2ac + 2bc = S

这是一个可以使用lagrange multipliers解决的数学问题（将其余部分留给你作为练习 - 它主要是技术性的，如果做得很慢，应该小心，应该不是问题）。 / p>

Answer 2

只是为了好玩，这是一个无微积分的答案。

考虑到约束条件：

4a+4b+4c = P 
2ab + 2ac + 2bc = S

我们可以将这些重写为：

a+b+c = P/4
(a+b+c)^2 - (a^2+b^2+c^2) = S

或

a+b+c = P/4
a^2+b^2+c^2 = P^2/16 - S

换句话说：解决方案位于切割P/4处主轴的平面与半径为P^2/16-S的原点居中的球体的交点处。这个交叉点是一个圆圈。从上面看它，它看起来像一个椭圆，其中心与原点成45度，短轴沿着同一条线。此外：

中心位于(P/12,P/12,P/12)。
半径为r = Sqrt(P^2/16-S - 3(P/12)^2)=Sqrt(P^2/24-S)。
圆圈位于垂直于(1,1,1)

因此，如果我们在圆上有一个点，它将相对于(da,db,dc)的中心有一个位移。由于3.，我们知道dc = -da - db。此外，平方和必须等于半径的平方，所以：

r^2 = da^2 + db^2 + (da+db)^2
    = 2(da^2 + db^2 + da db)

现在，位移是圆的线性变换，因此我们可以按如下方式对其进行参数化：

dc = -2A cos t
da = A cos t + B sin t
db = A cos t - B sin t

要求(da,db,dc)的长度为r，我们得到：

da^2 + db^2 + dc^2
    =   A^2 cos^2 t +  B^2 sin^2 t + 2AB cos t sin t
      + A^2 cos^2 t +  B^2 sin^2 t - 2AB cos t sin t
     + 4A^2 cos^2 t
    =  6A^2 cos^2 t + 2B^2 sin^2 t

为了使其独立于t，我们必须6A^2 = 2B^2 = r^2，所以

A = r / sqrt(6)
B = r / sqrt(2)

等等

da = r/sqrt(6) cos t + r/sqrt(2) sin t
db = r/sqrt(6) cos t - r/sqrt(2) sin t

，音量变为

V = (P/12 + da)(P/12 + db)(P/12 - da - db)
  = P^3/1728 + (da db - da(da + db) - db(da + db))P/12 - da db (da + db)
  = P^3/1728 - (da^2 + db^2 + da db)P/12 - da db (da + db)
  = P^3/1728 - P r^2/24 - da db (da + db)
  = C - (r^2/6 cos^2 t - r^2/2 sin^2 t) 2 r/sqrt(6) cos t
  = C - r^3 sqrt(6)/18 (cos^2 t - 3 sin^2 t) cos t
  = C - D (4 cos^2 t - 3 cos^2 t - 3 sin^2 t) cos t
  = C - D (4 cos^3 t - 3 cos t)
  = C - D cos 3t

其中C和D为正数。显然，当cos 3t为-1时达到最大值，在这种情况下，音量为：

V = P^3/1728 - P(P^2/24-S)/24 + Sqrt(P^2/24-S)^3 Sqrt(6)/18

Answer 3

使用具有多个约束的Lagrange Multiplier。 f（x，y，z）= xzy - L1 * g（x，y，z） - L2 * h（x，y，z）其中g（x，y，z）= x + y + zP / 4和h （x，y，z）= xy + yz + xz-S / 2

然后你做df / dx = 0，df / dy = 0，df / dz = 0，df / dL1 = 0，df / dL2 = 0，你将得到5个方程如下：

yz = L1 + L2 *（y + z）
xz = L1 + L2 *（x + z）
xy = L1 + L2 *（x + y）
x + y + z = p
xy + yz + xy = s

然后用一点点数学，你会发现x = y = L2从1 2和3.然后z = p - 2 * L2从4和z =（s - 2 * L2 ^ 2）/ 2 *从5开始的L2现在你可以从上面两个方程中计算出L2的值（还记得二次方程吗？）。并且体积是V = xyz = L2 * L2 *（p-2 * L2）

Answer 4

假设您在codechef.com/problems/J7

处遇到问题

python 2.7中的解决方案是

T = int(input())
for i in range(T):
    P = raw_input().split()
    S = int(P[1])
    P = int(P[0])
    V = (P**3)/1728.00 - P*( (P**2)/24.00-S)/24.00 + (((P**2)/24.00-S)**1.5)*(6**0.5)/18
    print("%.2f"%V)

我们如何算法计算最大可能容量的盒子？

4 个答案: