Question

对于给定的输入N，所包含的语句执行了多少次？

for i in 1 … N loop
  for j in 1 … i loop
    for k in 1 … j loop
      sum = sum + i ;
    end loop;
  end loop;
end loop;

任何人都可以找到一个简单的方法或公式来做到这一点。请解释一下。

Answer 1

首先，我编写了一个C代码来生成总和：

int main(){
  int i =0, k =0, j =0, n =0;
  int N =0; 
  int sum =0;
  N =10;
  for (n=1; n <= N; n++){
  // unindented code here
  sum =0;
  for (i=1; i<=n; i++)
      for (j=1; j<=i; j++)
          for (k=1; k<=j; k++)
              sum++;

  printf("\n N=%d  sum = %d",n, sum); 
  }
  printf("\n");
}

简单编译并生成N=1 to N=10的结果：

$ gcc sum.c
$ ./a.out

 N=1  sum = 1
 N=2  sum = 4
 N=3  sum = 10
 N=4  sum = 20
 N=5  sum = 35
 N=6  sum = 56
 N=7  sum = 84
 N=8  sum = 120
 N=9  sum = 165
 N=10  sum = 220

然后，试图用一些图表探索How this works?：

For N=1：

i<=N,     (i=1)       
            |
j<=i,     (j=1)       
            |
k<=j,     (K=1)       
            |
sum=0.    sum++       ---> sum = 1

即（1）= 1

For N=2：

i<=N,     (i=1)-------(i=2)
            |     |-----|-----|
j<=i,     (j=1) (j=1)      (j=2)
            |     |     |----|----|
k<=j,     (K=1) (K=1) (K=1)    (K=2)               
            |     |     |        |    
sum=0,    sum++  sum++ sum++   sum++  --> sum = 4

即（1）+（1 + 2）= 4

For N=3：

i<=N,     (i=1)-------(i=2)--------------------(i=3)
            |     |-----|-----|        |---------|-------------|
j<=i,     (j=1) (j=1)      (j=2)     (j=1)      (j=2)        (j=3)
            |     |     |----|----|    |     |----|----|    |-----|-----|
k<=j,     (K=1) (K=1) (K=1)    (K=2) (K=1) (K=1)    (K=2) (K=1) (K=2) (K=3)
            |     |     |        |     |     |        |     |     |        |
sum=0,    sum++  sum++ sum++  sum++ sum++  sum++    sum++  sum++ sum++  sum++
            --> sum = 10

即（1）+（1 + 2）+（1 + 2 + 3）= 10

N = 1, (1)    = 1                                           

N = 2, (1) + (1 + 2)    = 4

N = 3, (1) + (1 + 2) + (1 + 2 + 3)  = 10

N = 4, (1) + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4)  = 20

N = 5, (1) + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5)  = 35

最后，我可以理解三个循环中N的总和是：

（1）+（和0f 1到2）+ ... +（1到（N-2）之和）+（1到（N-1）之和）+（1到N之和）

或者我们可以把它写成：

=＆GT; （1）+（1 + 2）+ ... +（1 + 2 + .... + i）+ ... +（1 + 2 + .... + N-1）+（1 + 2 + .... + N）

=＆GT; （N * 1）+（（N-1）* 2）+（（N-2）* 3）+ ... +（（N -i + 1）* i）+ ... +（1 * N ）

您可以在此处参考简化计算：(I asked HERE )
enter image description here

[您的回答]

= ( ((N) * (N+1) * (N+2)) / 6 )

并且，我认为它是正确的。我检查如下：

N = 1,    (1 * 2 * 3)/6  = 1

N = 2,    (2 * 3 * 4)/6 = 4

N = 3,    (3 * 4 * 5)/6 = 6

N = 4,    (4 * 5 * 6)/6 = 10

N = 5,    (5 * 6 * 7)/6 = 35

此外，该算法的复杂性为O（n ³）

编辑：

以下循环也具有相同的计数，即= ( ((N) * (N+1) * (N+2)) / 6 )

for i in 1 … N loop
  for j in i … N loop
    for k in j … N loop
      sum = sum + i ;
    end loop;
  end loop;
end loop;

与嵌套循环相关的难题

1 个答案: