获取涵盖所有节点的路径以及特殊节点上的“开始”和“结束”

Question

我有这个图形问题，我有许多节点（公交车站）和一些特殊节点（公交车站），我必须覆盖所有节点 - 分配覆盖所有节点的公交路线 - 同时开始和结束于一个站，我对可以使用的公交车数量有一些限制，任何想法我应该如何开始？

Answer 1

找到连接所有节点的最短路径（具有公交车站限制）的问题可以从Traveling Salesman Problem减少而减少：给定TSP问题，用1/2创建此问题的实例站/“特殊节点”（取决于你们是否可以回到同一站）。

使用这种减少 - 如果这个问题可以多项式解决 - TSP也是如此。

因此 - 问题是NP-Hard，没有已知的多项式解（and the assumption is - one does not exist, though it is not proven yet）

一些替代方法是启发式算法，例如Genetic Algorithm和Hill Climbing，近似算法或指数算法（如果数据相对较小，可用于找到最佳解决方案），如动态编程或{ {3}}

编辑：（对编辑过的问题的回复）

即使您可以使用多条总线 - 但数量有限 - 但问题仍然是NP-Hard，因为（假设总线数量恒定/以一元编码方式给出）：您可以将图表“复制”到k个不同的组件（其中k是有限的总线数量） - 并且每个组件都有一个新的TSP问题。

Answer 2

这是一个简单的想法：

1. 从图表中删除开始和结束节点。
2. 搜索最小生成树
3. 将起始端节点连接到生成树。

通过这种方式，您可以获得最小的封面解决方案。

当然，如果您需要访问每个节点一次，那么如上所述，这是一个NP-Hard问题。