Question

有m*n Matrix。

从矩阵的一个点开始，您可以移动到八个相邻点之一（up, down, left, right, upper left, lower left, upper right, lower right）

如果访问过一个方向的点，您可以继续朝这个方向移动到下一个未访问的点。

您无法访问已访问过的点，但您可以通过访问过的相邻点访问其他未访问点。

例如，当前点是（5,5）：

如果已经查看（5,4），您可以转到（5,3）。如果还访问了（5,3），则可以移动（5,2）。
与对角线方向相同。如果已经访问过（4,4），则可以移至（3,3），依此类推。

现在你需要访问矩阵上的所有点，有多少种方法？

（第一点和最后一点可以是任何一点）。

Answer 1

这类似于网格上的希腊 - 关键游览的数量/ AKA 自我避免行走次数（see Wikipedia）。

但是在你的变体中，你可以移动到8个方向，而不是4个方向。

对于原始版本，似乎没有已知的n值大的公式。它解释为here和here。

我实现了一个简短的C ++程序来计算你的情况（不是最有效的一个，我猜）：

const size_t _DIM_m= 4; // cols
const size_t _DIM_n= 4; // rows

typedef struct // we want to pass the array by value (for recursion), so we'll wrap it with a struct
{
    bool g[_DIM_m][_DIM_n];
} Grid;

int Traverse(Grid g, int i, int j, int nVisit= 0)
{
    int nWays= 0;

    ++nVisit;        // points visited so far
    g.g[i][j]= true;
    Grid h= g;

    // original problem:
    if (                   (0        != j) && (!g.g[i  ][j-1])) nWays+= Traverse(g, i  , j-1, nVisit); // up
    if (                   (_DIM_n-1 != j) && (!g.g[i  ][j+1])) nWays+= Traverse(g, i  , j+1, nVisit); // down
    if ((0        != i)                    && (!g.g[i-1][j  ])) nWays+= Traverse(g, i-1, j  , nVisit); // left
    if ((_DIM_m-1 != i)                    && (!g.g[i+1][j  ])) nWays+= Traverse(g, i+1, j  , nVisit); // right

    // additions for your problem:
    if ((_DIM_m-1 != i) && (0        != j) && (!g.g[i+1][j-1])) nWays+= Traverse(g, i+1, j-1, nVisit); // upper right
    if ((0        != i) && (_DIM_n-1 != j) && (!g.g[i-1][j+1])) nWays+= Traverse(g, i-1, j+1, nVisit); // lower left
    if ((0        != i) && (0        != j) && (!g.g[i-1][j-1])) nWays+= Traverse(g, i-1, j-1, nVisit); // upper left
    if ((_DIM_m-1 != i) && (_DIM_n-1 != j) && (!g.g[i+1][j+1])) nWays+= Traverse(g, i+1, j+1, nVisit); // lower right

    if (_DIM_m * _DIM_n == nVisit) ++nWays; // if all points visited
    return nWays;
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    Grid g;

    for (size_t i= 0; i<_DIM_m; i++)
        for (size_t j= 0; j<_DIM_n; j++)
            g.g[i][j]= false;

    int nWays= Traverse(g, 0, 0); // starting point: 0, 0

    cout << nWays << endl;
    system ("pause");

    return 0;
}

矩形网格的结果，从（0,0）开始：

_DIM = 1：1
_DIM = 2：6
_DIM = 3：138
_DIM = 4：37948
_DIM = 5：很多......

请注意，从不同点开始时结果会发生变化。

修改

修改了原始问题：添加了传递。以下是此案例的解决方案：

const size_t _DIM_m= 4; // cols const size_t _DIM_n= 4; // rows typedef struct // we want to pass the array by value (for recursion), so we'll wrap it with a struct { bool g[_DIM_m][_DIM_n]; } Grid; inline bool InRange(int i, int j) { return (i >= 0) && (i < _DIM_m) && (j >= 0) && (j < _DIM_n); } int Traverse(Grid g, int i, int j, int nVisit= 0) { int nWays= 0; ++nVisit; // points visited so far g.g[i][j]= true; Grid h= g; int i1,j1; i1= i; j1= j; do { --j1; } while (InRange(i1,j1) && (g.g[i1][j1])); // up (pass through) if (InRange(i1,j1)) nWays+= Traverse(g, i1, j1, nVisit); i1= i; j1= j; do { ++j1; } while (InRange(i1,j1) && (g.g[i1][j1])); // down (pass through) if (InRange(i1,j1)) nWays+= Traverse(g, i1, j1, nVisit); i1= i; j1= j; do { --i1; } while (InRange(i1,j1) && (g.g[i1][j1])); // left (pass through) if (InRange(i1,j1)) nWays+= Traverse(g, i1, j1, nVisit); i1= i; j1= j; do { ++i1; } while (InRange(i1,j1) && (g.g[i1][j1])); // right (pass through) if (InRange(i1,j1)) nWays+= Traverse(g, i1, j1, nVisit); i1= i; j1= j; do { ++i1; --j1; } while (InRange(i1,j1) && (g.g[i1][j1])); // upper right (pass through) if (InRange(i1,j1)) nWays+= Traverse(g, i1, j1, nVisit); i1= i; j1= j; do { --i1; ++j1; } while (InRange(i1,j1) && (g.g[i1][j1])); // lower left (pass through) if (InRange(i1,j1)) nWays+= Traverse(g, i1, j1, nVisit); i1= i; j1= j; do { --i1; --j1; } while (InRange(i1,j1) && (g.g[i1][j1])); // upper left (pass through) if (InRange(i1,j1)) nWays+= Traverse(g, i1, j1, nVisit); i1= i; j1= j; do { ++i1; ++j1; } while (InRange(i1,j1) && (g.g[i1][j1])); // lower right (pass through) if (InRange(i1,j1)) nWays+= Traverse(g, i1, j1, nVisit); if (_DIM_m * _DIM_n == nVisit) ++nWays; // if all points visited return nWays; }

矩形网格的结果，从（0,0）开始：

_DIM = 1：1

_DIM = 2：6

_DIM = 3：1020

_DIM = 4：8071182

_DIM = 5：很多......

Answer 2

听起来像是一个典型的TSP问题（参见：http://en.wikipedia.org/wiki/Travelling_salesman_problem）。每个盒子例如5,5就像一个城市，只有“道路”或链接可以到达另一个节点或“城市”。希望有帮助你

有多少种方法可以访问给定矩阵的所有点？

2 个答案: