Question

Eigen是否具有存储密集，固定大小，对称矩阵的有效类型？（嘿，它们无处不在！）

即。对于N = 9，它应该只存储（1 + 9）* 9/2 == 45个元素并且它具有适当的操作。例如，应该有效地添加两个对称矩阵，它们返回相似的对称矩阵。

如果没有这样的事情，那些动作（看起来像this）我应该把这种类型介绍给Eigen？它有“观点”的概念吗？我可以为自己的类型编写类似“矩阵视图”的东西，这会使它成为Eigen-friednly吗？

P.S。可能我可以使用map将普通数组视为1xN矩阵，并对其进行操作。但这不是最干净的解决方案。

Answer 1

是的，eigen3具有views的概念。但它对存储没有任何作用。尽管如此，您可以为同一类型的两个对称矩阵共享一个更大的块：

Matrix<float,4,4> A1, A2; // assume A1 and A2 to be symmetric
Matrix<float,5,4> A;
A.topRightCorner<4,4>().triangularView<Upper>() = A1;
A.bottomLeftCorner<4,4>().triangularView<Lower>() = A2;

它非常麻烦，如果你的记忆非常珍贵，我只会用它。

Answer 2

Packed storage对称矩阵是矢量化代码的 big 敌人，即速度。标准做法是将相关的N *（N + 1）/ 2系数存储在全密集NxN矩阵的上部或下部三角形部分中，并使剩余的（N-1）* N / 2不参考。然后通过考虑这种特殊的存储来定义对称矩阵上的所有操作。在本征中，你有triangular and self-adjoint views的概念来获得这个。

来自eigen参考:(对于真实矩阵selfadjoint == symmetric）。

就像三角矩阵一样，您可以参考任何三角形部分方阵矩阵将其视为自相关矩阵并执行特殊和优化的操作。再次是相反的三角形部分永远不会被引用，可用于存储其他信息。

除非记忆是一个大问题，否则我建议将矩阵的未引用部分留空。（更易读的代码，没有性能问题。）

Answer 3

对称矩阵的有效类型

您只需将值分配给矩阵的下/上三角部分，然后使用本征三角形和自伴随视图。但是，我已经在固定大小的小型矩阵上进行了测试。我注意到在性能方面，使用视图并不总是最佳选择。考虑以下代码：

Eigen::Matrix2d m;
m(0,0) = 2.0;
m(1,0) = 1.0;
// m(0,1) = 1.0;
m(1,1) = 2.0;
Eigen::Vector2d v;
v << 1.0,1.0;
auto result = m.selfadjointView<Eigen::Lower>()*v;

与下面提供的替代解决方案相比，最后一行中的产品速度相当慢（在我的案例中，double 2x2矩阵的速度要慢20％）。（对于m(0,1) = 1.0;矩阵，使用完整矩阵（通过取消注释auto result = m*v并使用double 2x2的乘积甚至更快）。

编辑：我忘记了别名。 auto result.noalise()加快了速度（不过以下替代方法仍然更快）。

一些替代方法。

1）将对称矩阵存储在向量中

您可以将矩阵存储在大小为45的向量中。以向量格式求和2个矩阵非常简单（只需对向量求和即可）。但是您必须编写自己的产品实现。

以下是这种matrix * vector乘积（密集，固定大小）的实现，其中矩阵的下部按列存储在向量中：

template <typename T, size_t S>
Eigen::Matrix<T,S,1> matrixVectorTimesVector(const Eigen::Matrix<T,S*(S+1)/2,1>& m, const Eigen::Matrix<T,S,1>& v)
{
    Eigen::Matrix<T,S,1> ret(Eigen::Matrix<T,S,1>::Zero());
    int counter(0);
    for (int i=0; i<S; ++i)
    {
        ret[i] += m(counter++)*v(i);
        for (int j=i+1; j<S; ++j)
        {
            ret[i] += m(counter)*v(j);
            ret[j] += m(counter++)*v(i);
        }
    }
    return ret;
}

2）仅存储三角形部分并执行自己的操作

您当然也可以实现自己的产品matrix * vector，该产品的矩阵仅存储45个元素（假设我们存储下三角部分）。这可能是最优雅的解决方案，因为它保持矩阵的格式（而不是使用代表矩阵的向量）。然后，您也可以像下面的示例一样使用本征函数：

template <typename T, size_t S>
Eigen::Matrix<T,S,S> symmMatrixPlusSymmMatrix( Eigen::Matrix<T,S,S>& m1, const Eigen::Matrix<T,S,S>& m2)
{
    Eigen::Matrix<T,S,S> ret;
    ret.template triangularView<Eigen::Lower>() = m1 + m2; // no performance gap here!
    return ret;
}

在上面的函数（2个对称矩阵的和）中，仅访问m1和m2的下三角部分。请注意，在这种情况下，triangularView不会出现性能差异（我根据基准确认这一点）。

关于matrix * vector产品，请参见以下示例（与替代品1中的产品具有相同的性能）。该算法仅访问矩阵的下三角部分。

template <typename T, size_t S>
Eigen::Matrix<T,S,1> symmMatrixTimesVector(const Eigen::Matrix<T,S,S>& m, const Eigen::Matrix<T,S,1>& v)
{
    Eigen::Matrix<T,S,1> ret(Eigen::Matrix<T,S,1>::Zero());
    int counter(0);

    for (int c=0; c<S; ++c)
    {
        ret(c) += m(c,c)*v(c);
        for (int r=c+1; r<S; ++r)
        {
            ret(c) += m(r,c)*v(r);
            ret(r) += m(r,c)*v(c);
        }
    }
    return ret;
}

与我使用全矩阵（2x2 = 4个元素）的产品相比，产品Matrix2d*Vector2d的性能增益为10％。

密集对称矩阵的特征有效型

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