给定不规则多边形的顶点列表，如何创建内部三角形以有效地构建平面3D网格？

Question

我正在使用Unity，但解决方案应该是通用的。 我将通过鼠标点击获得用户输入，鼠标点击定义了封闭的不规则多边形的顶点列表。 该顶点将定义平面3D网格的外边缘。

要在Unity中以程序方式生成网格，我必须指定所有顶点以及它们如何连接以形成三角形。

因此，对于凸多边形而言，它是微不足道的，我只是制作三角形，其顶点为1,2,3，然后是1,3,4等，形成类似孔雀尾的东西。

但对于凹面多边形而言，并非如此简单。 是否有一种有效的算法来查找内部三角形？

Answer 1

您可以使用受约束的Delaunay triangulation（实现起来并非易事！）。 Triangle和CGAL中提供了良好的库实现，提供了高效的O(n*log(n))实现。

如果顶点集很小，ear-clipping算法也是可能的，虽然它不一定会给你一个Delaunay三角剖分（它通常会产生次优三角形）并在O(n^2)中运行。尽管如此，这很容易实现。

由于输入顶点存在于3d空间的平面上，因此可以通过投影到平面上获得2d问题，在2d中计算三角剖分，然后将相同的网格拓扑应用于3d顶点集。

Answer 2

我已经实现了耳剪切算法如下：

1. 迭代顶点，直到找到凸顶点，v
2. 检查多边形上的任何点是否位于三角形内（v-1，v，v + 1）。如果有，则需要沿顶点v和距离线最远的点（v-1，v + 1）对多边形进行分区。递归评估两个分区。
3. 如果顶点v周围的三角形不包含其他顶点，请将三角形添加到输出列表中并删除顶点v，重复直到完成。

注意：

1. 即使在处理3D面部时，这本质上也是一种2D操作。要考虑2D中的问题，只需忽略具有最大绝对值的面法线的矢量坐标。 （这是您将3D面“投影到2D坐标”的方式）。例如，如果面具有法线（0,1,0），则忽略y坐标并在x，z平面中工作。
2. 要确定哪些顶点是凸的，首先需要知道多边形的绕组。您可以通过找到多边形中最左边（最小的x坐标）顶点来确定这一点（通过查找最小的y来断开连接）。这样的顶点总是凸起的，所以这个顶点的缠绕可以让你绕过多边形。
3. 使用带符号的三角形面积方程确定绕组和/或凸度。见：http://softsurfer.com/Archive/algorithm_0101/algorithm_0101.htm。根据多边形的绕组，所有凸三角形都具有正面积（逆时针缠绕）或负面积（顺时针缠绕）。
4. 三角形点公式由有符号三角形区域公式构成。见：How to determine if a point is in a 2D triangle?。
5. 在步骤2中，您需要确定哪个顶点（v）离线最远，您可以通过形成三角形（L0，v，L1）并检查哪一个具有最大面积（绝对值）来实现，除非你假定一个特定的缠绕方向）
6. 此算法没有很好地定义自相交多边形，并且由于浮点精度的性质，您可能会遇到这种情况。可以实现一些安全措施以确保稳定性： - 除非是凹点，否则不应将点视为三角形内部。 （这种情况表示自相交，你不应该沿着这个顶点划分你的集合）。您可能会遇到一个分区完全凹陷的情况（即它的缠绕与原始多边形的缠绕不同）。应该丢弃此分区。
7. 由于算法是循环的并且涉及对集合进行分区，因此使用具有阵列的双向链接列表结构进行存储是非常有效的。然后，您可以在0（1）中对集合进行分区，但算法仍然具有平均O（n ^ 2）运行时。最佳案例运行时间实际上是需要多次分区的集合，因为这会迅速减少比较次数。

Answer 3

triangulating concave多边形有一个社区脚本，但我个人并没有使用它。 author claims它适用于3D点和2D。

如果我想将问题约束为2D，我过去曾经使用的一个hack就是使用principal component analysis找到我的3D数据中最大变化的2个轴并将它们变成我的“X”和“ Y”。