Question

我被问到这个问题：谷歌similar question。在Facebook采访中被问到类似的问题。

确定2/9数字游戏的获胜者

两名玩家玩下面的游戏：他们选择一个随机数N（小于20亿），然后从1开始，轮流将前一轮的数字乘以2或9（他们的选择）。   到达N的人首先获胜。

候选人应该写一个给定N谁决定胜利的函数（第一个或第二个玩家？）

对于乘法工作，基本随机选择2/9还是他们希望我们在移动中添加智能。例如：从乘以2开始，只有当你看到另一个人不能比你更快达到N时才乘以9？

解决这类问题的最佳方法是什么？

Answer 1

解决此类问题的最佳方法。

首先，你需要对游戏理论有基本的理解。真的很基本。那就是你意识到这样一个事实，即对于一个给定的数字N，对于开始的球员或者对于他的对手的获胜策略，要么存在获胜策略。所以你必须假设他们都知道策略并且尽可能地发挥最佳动作。

然后你开始熟悉游戏。你练习水平较低。你很快就注意到，对于2-9，首发球员是赢球，而对于10-18，他必须输球。因此，您的函数已准备好处理N<=18。

的情况

然后你开始思考一般的制胜战略。知道策略会给你算法。 5分钟后（越快越好）你就会明白你不适合找到获胜策略，因为在这种情况下并不明显。因此，您决定为计算机提供一些基本原则，让它为您解决难题。你知道你会使用递归。

您尝试查找递归规则。您可能希望从结束或从头开始。我将从最后描述这种方法。

游戏的目标是将对手推向区域，在那里他必须给你胜利。而不是自己被推到那个区域。从N / 9到N，有一个获胜区。如果一个人被推到N / 9/2和N / 9之间，他必须输掉。（因为他的两个动作都会将对手推向胜利区。）所以你写下你的功能：

wins(n) {
  // returns 1, if starting player is able to reach
  // the range [n, 2*n) with his move
  if (n<=18) {
    if (n<=9)
      return 1;
    else
      return 0;
  } else {
    // I must push him to the zone between N/9/2 and N/9
    return wins(n/18);
  }

如果你达到了这一点，你就过去了。还有一些细节，比如是否使用float或int，是否使用int向上或向下舍入。但总的来说，你展示了正确的思维方式，并且你已经准备好面对面试官了。）

编辑：实际上上面的代码中有错误。 “获胜”与“能够达到范围（n，2n）”不同。这里可能需要2个函数：wins(n)和reaches_slightly_above(n)。后者将以递归方式调用，返回到18以下的值应该不同，类似于Peter de Rivaz解决方案中的值。但是，下面的解决方案和一般方法应该没问题。

替代方法，从下到上，将使用该功能：

wins(a,n) {
  if (9*a >= n)
    // I win easily
    return 1;
  else
    // if one of my moves pushes the opponent to the zone
    // where he's not able to win, then I win!
    return !wins(2*a, n) || !wins(9*a, n);
}

如果他们要求n，则返回win(1,n)的值。这种算法的复杂性并不明显，但我认为它是对数的。

Answer 2

由于它们必须准确到达N，因此只有在N的格式为2^a * 9^b且a, b中的一个允许为0时才有可能。{ / p>

在上面找到a和b：如果a + b = even，则第二位玩家将获胜，否则第一位将获胜。

这是因为，在每一步中，玩家都会更接近a或b一个，因此更接近a + b一个。所以问题减少到：给定k，如果每一步玩家必须从k中减去1，哪个玩家将首先达到0？

Answer 3

最佳比赛通常是与对手的移动相反，除了在开始和结束时。

通过与递归解决方案进行比较，结果可以根据数字-1的基数18表示中的最高有效数字来计算答案，如下所示：

def win29(n):
    if n<=9: return True
    n-=1
    while n>=18:
        n = n//18
    return n==1 or 4<=n<=8

Answer 4

无论是试图满足还是达到或超过N，都可以通过确定在各种情况下总能获胜的策略来解决。我将介绍5个案例（或2个案例，其中第二个案例有4个子案例），涵盖所有N并为每个案例提供获胜策略。

考虑T = ceil( log(N)/log(18) )，即T是最小的权力，18^T达到或超过N。

如果18^(T-1) * 9 < N那么第一个玩家总是输给理想的对手。每当第一个玩家选择2时，第二个玩家选择9。每当第一个选择9时，第二个选择一个2.这样，第二个玩家的回合总是以18的幂结束。T之后轮次，第二名球员获胜。第一个玩家无法在前一轮获胜，因为乘以9不足以超过N（因此也不能乘以2）。

所以，现在让我们考虑18^(T-1) * 9 >= N并选择最小k，18^(T-1) * 2^k > N。有四种可能性k = 1, 2, 3, or 4。

(k = 1)第一位玩家获胜。第一个玩家可以以2开始，然后像第二个玩家一样在上面玩，在每个后续转弯中与另一个玩家玩相反的数字直到下一轮。第二个玩家将始终面临初始2的18倍的力量。在18 ^（T-2）* 2时，玩家2最多可以乘以9到18^(T-1)，这不足以获胜，并且至少可以返回18^(T-2)*4哪个玩家可以乘以9来赢得18^(T-1)*2。
(k = 3)第一位玩家也获胜。这次播放器以9开头并像以前一样播放。第二个玩家将始终面对初始9的18倍的力量。在18 ^（T-2）* 9，玩家2最多可以达到18^(T-2) * 9 * 9 < 18^(T-2) * 18 * 8 = 18^(T-1) * 2^3，因此不足以赢得，并且可以至少通过乘以2返回18 ^（T-1），玩家一乘以9并获胜。
(k = 2 or 4)第二位玩家获胜。在这里，第二个玩家应该像以前一样玩相反的数字，直到接近结束，这样每个回合玩家一个以18的力量开始。在18^(T-2)，玩家一个最多可以到达18^(T-2)* 9 < 18^(T-1)，所以不够胜利。如果他返回18 ^（T-2）* 9，则玩家2获胜18^(T-2)*9*9 > 18^(T-2)*18*4 = 18^(T-1)*2^2如果玩家1返回18^(T-2)*2，则玩家2返回18^(T-2)*4。然后玩家最多可以制作18^(T-2)*4*9 = 18^(T-1)*2，这仍然不够。现在玩家1至少可以返回18^(T-2)*8，这足以让玩家2在18^(T-2)*8*9 = 18^(T-1)*4之后达到目标。

Answer 5

是的，你应该考虑两位球员的最佳表现并决定谁将获胜。

在这里，一个简单的递归思维可以引导你找到解决方案。

如果玩家的号码为n且n*9 >= N，则当前玩家将赢得游戏。
否则，他会将2*n或9*n传递给第二名玩家。现在，只有当他（2*n和9*n）向第二名球员提供的两个选项导致第二名球员的中奖号码时，1st-Player才会输掉比赛，否则他将有机会再次挑选中奖号码。

因此，我们可以编写一个递归方法如下：
因为，游戏中的所有数字都将是格式：2^i * 9^j我们可以写：

 F(i, j) = true; if (2^i * 9^j * 9) >= N
           !(F(i+1, j) && F(i, j+1)); otherwise

解决方案将在F(0, 0)，无论1st-Player是否获胜。

Answer 6

如果N可以除以2和9，并且有一些好的博弈论方法，那么有很好的答案。这是Javascript中一个简单的动态编程方法，可以为任何可能的N提供答案。

function getWhoWins(n) {
    if(getWhichPlayerWins(0, 1, n) === 0) {
        console.log("First player wins for " + n);
    } else {
        console.log("Second player wins for " + n);
    }
}

// Returns 0 if first, 1 if 2nd player would win
function getWhichPlayerWins(currentPlayer, currentNumber, targetNumber) {
    if(currentNumber * 9 >= targetNumber) {
        return currentPlayer;
    }
    var nextPlayer = (currentPlayer + 1) % 2;
    if(getWhichPlayerWins(nextPlayer, currentNumber *2, targetNumber) === currentPlayer || getWhichPlayerWins(nextPlayer, currentNumber *9, targetNumber) === currentPlayer) {
        return currentPlayer;
    }
    return nextPlayer;
}

此解决方案的时间复杂度为O（2 * logN）= O（logN）。

Answer 7

答案（我不是100％肯定）：

r = N mod 18

if r belongs to (1,9]  player 1 wins
if r belongs to (9,18) or is =1  then player 2 wins.

我没有完整的数学演示，所以我错了。
如果两个玩家（或者至少其中一个）知道如何玩它，这应该是正确的答案。

我能得到这份工作吗？：）

Answer 8

通过组合博弈论来研究像这样的双人，确定性游戏。这种无聊的博弈论与经济学中流行的Neumann和Nash更有用的博弈论无关。这篇开创性的作品是一本令人愉快的书，名为Conning Ways by Conway，Berlekamp＆amp;盖

思。对于任何游戏，要么：

有一种策略，即第二位玩家总是赢，但是第一位玩家会玩。
有一种策略，即第一个玩家总是赢，但第二个玩家玩。

你的游戏是一个特殊情况，一个公正的游戏，其中游戏的状态看起来与两个玩家相同。最好的例子是一个名为Nim的简单火柴游戏。碰巧所有公正的游戏都等同于Nim（这是Sprague Grundy定理），所以所有公正的游戏都可以完全解决。

让我们解决你的游戏。游戏的可能状态是正整数。我们将每个州分类为第二个玩家的胜利（我们将这些游戏标记为零'0'游戏），或者为第一个玩家赢得胜利（我们将这些游戏标记为明星'*'游戏）。

大于或等于N的整数都是零游戏，因为此时游戏结束了。谁移动它已经失去了。

轮到它的玩家可以移动到上面的零位置的状态是明星游戏。因此，整数n，N/9 <= n < N都是明星游戏 - 获胜的动作是乘以9。

轮到它的玩家别无选择只能移动到星位的状态再次为零位。所以整数n，N/9/2 <= n < N/9是零位。我们的球员输了。

等等。使用类似的参数，我们最终将所有整数归类为一个。

对于N = 1000说，

整数1000及以上为零游戏
整数112到999是明星游戏（获胜，乘以9）
整数56到111为零游戏（玩家无法获胜）
整数7到55是星际游戏（相应地乘以9或2，以便移动到零游戏中的一个56到111）
整数4到6是零游戏（玩家无法获胜）
整数2到3是星际游戏（乘以2）
整数1是零游戏（玩家无法获胜）

概括我们得出彼得的结论https://stackoverflow.com/a/13367642/284795

Answer 9

有趣的帖子和答案。我很想提出一种理论强力函数，它使用2/9因子计算所有组合路径，其中N <= 2×10 ^ 12（或尽可能接近）。我说“理论”因为我假设那种计算能力甚至超过了FB？

2/9游戏（Facebook访谈）

9 个答案: