零和一的游戏（谷歌访谈）

Question

不久前我在谷歌的采访中被问到这个问题，到目前为止，我没有找到一个好的答案： 这是一个2人游戏，你会得到一串零和一个。在每个回合中，玩家可以选择1（或彼此相邻的多个1）并将其/它们更改为0/0。将最后1个（或1个组）更改为0/0的玩家是游戏的赢家。

例如从0101110开始。第一个玩家有7个可能的动作：

1. 0 1 01110 - ＆gt; 0 0 01110（第二位玩家可以获胜）
2. 010 1 110 - ＆gt; 010 0 110（第二位玩家可以获胜）
3. 0101 1 10 - ＆gt; 0101 0 10（第二名球员可以获胜）
4. 01011 1 0 - ＆gt; 01011 0 0（第二位选手可以获胜）
5. 010 11 10 - ＆gt; 010 00 10（第一名球员可以获胜）
6. 0101 11 0 - ＆gt; 0101 00 0（第一名球员可以获胜）
7. 010 111 0 - ＆gt; 010 000 0（第二位玩家可以获胜）

目标是如果你先开始就弄清楚是否有获胜策略。 我们在这里假设两位球员都是优秀球员（这意味着他们不会犯错！）

更新 这个游戏与Nim（https://en.wikipedia.org/wiki/Nim）略有不同，对于Nim来说，每个回合的桩数（或堆数）保持不变，而在每一个回合中你都可以改变桩的数量。 例如，如果我们做0101 1 10 - > 0101 0 10最初我们有两个大小为1和3的桩，但在移动后我们将有3桩，大小为1。

Answer 1

让nim[n]成为n序列的nimber。然后我们有以下递归关系：

nim[n] = mex{nim[i] xor nim[j]: i, j >= 0, i + j < n}

（有关一般理论，请参阅Sprague-Grundy theorem。）

从这个递归关系中，您可以尝试计算序列nim的前几个项，您会发现它似乎nim[n] = n。

然后可以很容易地推断出证明，我将留给你。

因此，n连续序列的序列实际上等同于大小为n的Nim桩。现在很容易找到任何游戏的结果。

例如，如果我们有0101110，那么它相当于两堆Nim，分别为1和3。因此，总的nimber等于1 xor 3 = 2，这是非零的，所以第一个玩家获胜。

另一个例子，如果我们有1110011111000111111，那么总的nimber等于3 xor 5 xor 6 = 0，所以第一个玩家输了。

编辑：关于桩的变化的问题，这里有一些更多的解释。

虽然桩的数量会发生变化，但关键点如下：

• 如果状态为nimber为零，则任何有效的移动都必须将其更改为非零的nimber状态。
• 如果状态为非零nimber，则必须存在有效​​移动，将其更改为零nimber状态。

因此对于胜利者来说，策略是给对手留下零点状态。

示例：让我们从序列1110011111000111111开始，我简称为3, 5, 6。

如果第一位玩家将6替换为2和3的总和，则第二位玩家将面临状态3, 5, 1, 4，其状态为3 xor 5 xor 2 xor 3 = 7 }。为了使其保持为零，第二个玩家将5替换为2，留下第一个玩家3, 2, 2, 3，它再次为零。

程序继续，直到第一个玩家没有有效的移动。

Answer 2

可以使用图形表示来解决。

顶点将是给定二进制字符串的可能组合/带二进制的整数 - ＆gt;十进制转换。

每个顶点都应该有一个连接到顶点的边，其值可以通过制作1 - ＆gt;来获得。 0根据游戏规则进行转换。

在这种情况下，7位=＆gt; 2 ^ 7 = 128种组合。 我们仍然可以过滤掉给定初始组合中永远无法达到的顶点。

例如，

0101110 - ＆gt; 0 0 01110 - ＆gt; 0000000（第二位玩家获胜）

0101110 - ＆gt; 010 0 110 - ＆gt; 0100 00 0 - ＆gt; 0000000（第一位获胜者）

它继续这样下去。在每次移动中，我们可以通过获取相邻顶点来识别下一个可能的组合，并将它带到我们一直到获胜组合（0000000）