Question

我正在努力实现以下等式：

X =(Y.T * Y + Y.T * C * Y) ^ -1

Y是（n×f）矩阵，C是（n×n）对角线; n约为300k，f在100到200之间变化。作为优化过程的一部分，这个等式将使用近1亿次，因此必须非常快速地处理。

Y是随机初始化的，C是一个非常稀疏的矩阵，对角线上的300k中只有少数数字与0不同。由于Numpy的对角函数创建了密集矩阵，我创建了C作为稀疏csr矩阵。但是当试图解决方程式的第一部分时：

r = dot(C, Y)

由于内存限制，计算机崩溃。我决定然后尝试将Y转换为csr_matrix并进行相同的操作：

r = dot(C, Ysparse)

这种方法 1.38 ms 。但是这个解决方案有点“棘手”，因为我使用稀疏矩阵来存储密集的矩阵，我想知道它的效率有多高。

所以我的问题是，是否有某种方法可以将稀疏的C和密集的Y相乘，而不必将Y变为稀疏并提高性能？如果不知何故C可以表示为对角线密集而不消耗大量内存，这可能会导致非常有效的性能，但我不知道这是否可行。

感谢您的帮助！

Answer 1

当计算r = dot（C，Y）时，点积遇到内存问题的原因是numpy的点函数不具有处理稀疏矩阵的本机支持。正在发生的是numpy认为稀疏矩阵C是一个python对象，而不是一个numpy数组。如果您进行小规模检查，您可以直接看到问题：

>>> from numpy import dot, array
>>> from scipy import sparse
>>> Y = array([[1,2],[3,4]])
>>> C = sparse.csr_matrix(array([[1,0], [0,2]]))
>>> dot(C,Y)
array([[  (0, 0)    1
  (1, 1)    2,   (0, 0) 2
  (1, 1)    4],
  [  (0, 0) 3
  (1, 1)    6,   (0, 0) 4
  (1, 1)    8]], dtype=object)

显然，上述内容并不是您感兴趣的结果。相反，您要做的是使用scipy的sparse.csr_matrix.dot函数进行计算：

r = sparse.csr_matrix.dot(C, Y)

或更紧凑

r = C.dot(Y)

Answer 2

尝试：

import numpy as np
from scipy import sparse

f = 100
n = 300000

Y = np.random.rand(n, f)
Cdiag = np.random.rand(n) # diagonal of C
Cdiag[np.random.rand(n) < 0.99] = 0

# Compute Y.T * C * Y, skipping zero elements
mask = np.flatnonzero(Cdiag)
Cskip = Cdiag[mask]

def ytcy_fast(Y):
    Yskip = Y[mask,:]
    CY = Cskip[:,None] * Yskip  # broadcasting
    return Yskip.T.dot(CY)

%timeit ytcy_fast(Y)

# For comparison: all-sparse matrices
C_sparse = sparse.spdiags([Cdiag], [0], n, n)
Y_sparse = sparse.csr_matrix(Y)
%timeit Y_sparse.T.dot(C_sparse * Y_sparse)

我的时间：

In [59]: %timeit ytcy_fast(Y)
100 loops, best of 3: 16.1 ms per loop

In [18]: %timeit Y_sparse.T.dot(C_sparse * Y_sparse)
1 loops, best of 3: 282 ms per loop

Answer 3

首先，您确定需要在问题中执行完整矩阵求逆吗？大多数情况下，只需要计算x = A ^ -1 y，这是一个更容易解决的问题。

如果确实如此，我会考虑计算逆矩阵的近似值而不是全矩阵求逆。由于矩阵求逆真的成本高昂。例如，参见Lanczos algorithm以获得逆矩阵的有效近似。近似可以稀疏地存储为奖励。此外，它只需要矩阵向量运算，因此您甚至不必将完整矩阵存储为逆矩阵。

作为替代方案，使用pyoperator，您还可以使用.todense方法使用有效的矩阵向量运算来计算矩阵以进行逆运算。对角矩阵有一个特殊的稀疏容器。

对于Lanczos算法的实现，您可以查看pyoperators（免责声明：我是此软件的共同作者之一）。

Answer 4

问这个问题的时候不知道有没有可能；但如今，广播是您的朋友。一个 n*n 对角矩阵只需要是一个矩阵乘积中使用的对角元素数组：

>>> n, f = 5, 3
>>> Y = np.random.randint(0, 10, (n, f))
>>> C = np.random.randint(0, 10, (n,))
>>> Y.shape
(5, 3)
>>> C.shape
(5,)
>>> np.all(Y.T @ np.diag(C) @ Y == Y.T*C @ Y)
True

请注意 Y.T*C @ Y 是非关联的：

>>> Y.T*(C @ Y)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (3,5) (3,)

但是 Y.T @ (C[:, np.newaxis]*Y) 会产生预期的结果：

>>> np.all(Y.T*C @ Y == Y.T@(C[:, np.newaxis]*Y))
True

有效地乘以Numpy / Scipy稀疏矩阵和密集矩阵

4 个答案: