Question

我有N条线，由y轴截距和角度q定义。约束是所有N条线必须在一个点相交。我可以想出的方程最终得到约束：

Y = tan(q(1))X + y(1)
Y = tan(q(2))X + y(2)
...

如果N = 3或4，我可以手动获取约束但是如果N大于4，我只能得到一个约束。如果N = 3或4，那么当我求解X的上述方程时，我得到2个方程，然后可以将它们设置为彼此相等。如果N> 4，我得到超过2个等于X的方程式，我不知道如何将它们压缩成一个约束。如果我不能将它们压缩成一个约束，并且能够解决具有动态创建的多个约束的优化问题（取决于传入的N），那也没关系。

为了更好地理解我在做什么，我将展示如何得到N = 3的约束。我从这三个方程开始：

Y = tan(q(1))X + y(1)
Y = tan(q(2))X + y(2)
Y = tan(q(3))X + y(3)

然后我将它们设置为彼此相等并得到这些等式：

tan(q(1))X + y(1) = tan(q(2))X + y(2)
tan(q(2))X + y(2) = tan(q(3))X + y(3)

然后我解决X并得到这个约束：

(y(2) - y(1)) / (tan(q(1)) - tan(q(2))) = (y(3) - y(2)) / (tan(q(2)) - tan(q(3)))

注意我如何解决X的2个方程式。当N＆gt; 4我最终得到2个以上。如果我能够动态创建约束，然后在MATLAB中调用一个能处理多个约束的优化函数，但到目前为止还没有找到一个，那就没关系。

Answer 1

你说优化算法需要调整q，以便在上述等式也成立的同时最小化“真实”问题。

请注意fifth Euclid axoim确保所有行始终与所有其他行相交，除非两个q相等但相应的y0不相等。最后一种情况是如此罕见（在浮点上下文中），我将在此处跳过它，但为了增加稳健性，最终应该包含它。

现在，首先，考虑矩阵。您的约束可以通过矩阵方程式来表达：

y = tan(q)*x + y0

其中q，y和y0是[Nx1]矩阵，x是一个未知的标量。请注意y = c*ones(N,1)，例如，仅包含相同常量的矩阵。这实际上是一个非线性约束 - 也就是说，它不能表示为

A*q <= b   or   A*q == b

A一些设计矩阵和b一些解决方案向量。因此，您必须编写一个定义此非线性约束的函数，您可以将其传递给fmincon之类的优化器。来自the documentation：

x = fmincon（fun，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub，nonlcon）受试者最小化非线性不等式c（x）或等式ceq（x）在nonlcon中定义。 fmincon优化使得c（x）≤0且ceq（x）= 0.如果不存在边界，请设置lb = []和/或ub = []。

请注意，您实际上正朝着正确的方向前进。您可以使用以下等式求解x - 任何一对线q(n),y0(n)和q(m),y0(m)的交点的位置：

x(n,m) = (y0(n)-y0(m)) / (q(m)-q(n))

您的nonlcon函数应为所有可能的对x找到n,m，并检查它们是否全部相等。你可以这样方便地做到这一点：

function [c, ceq] = nonlcon(q, y0)
    % not using inequalities
    c = -1; % NOTE: setting it like this will always satisfy this constraint

    % compute tangents 
    tanq = tan(q);

    % compute solutions to x for all pairs 
    x = bsxfun(@minus, y0, y0.') ./ -bsxfun(@minus, tanq, tanq.');

    % equality contraints: they all need to be equal 
    ceq = diff(x(~isnan(x))); % NOTE: if all(ceq==0), converged.

end

请注意，您实际上并没有明确地解决q（或者根本不需要交叉点的y坐标） - 这就是fmincon的所有工作。

您需要进行一些实验，因为有时定义

就足够了

x = x(~isnan(x));
ceq = norm(x-x(1)); % e.g., only 1 equality constraint

这将更快（计算的衍生物更少），但其他问题确实需要

x = x(~isnan(x));
ceq = x-x(1); % e.g., N constraints

或类似的技巧。这真的取决于问题的其余部分，优化器将找到每个案例的难度。

在matlab中进行优化：找出约束方程

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