Question

假设我想对大小为n的整数数组进行排序。假设我有交换方法

我的冒泡排序实施是否正确？

for(int i=0;i<n;i++)
 for (int j=0;j<n;j++)
  if (array[i]<array[j]) swap(array[i], array[j]);

（我只是想知道它是否正确，我不关心效率低下）

Answer 1

降序排序不正确..

考虑array = [2, 1]，输出[1, 2]

您可以通过将j=0更改为j=i+1

来使其更正

for(int i=0;i<n;i++)
 for (int j=i+1;j<n;j++)
  if (array[i]<array[j]) swap(array[i], array[j]);

但升序排序 是正确的。

这里简单的证明：

假设在输出for循环的每个步骤后我们都有a[0] <= a[1] <= ... <= a[i-1] <= a[i]，我们称之为 suppose_i

{p> suppose_i 在i = 0

时是正确的

如果 suppose_i 对于 0＆lt; = i＆lt; M <= N 。在i = M时，我们有a[0] <= a[1] <= ... <= a[M - 2] <= a[M - 1]。内循环j从0到M后，我们得到a[0] <= a[1] <= ... <= a[M - 2] <= a[M - 1] <= a[M]。当从M + 1到N-1继续内循环j时，[M]将变得更大。所以 suppose_i 对i = M也是正确的。

Answer 2

是的，这是对的。证明可以按照以下方式构建。

总是当j-loop（内部）完成时（所以j = n，i将作为下一个op增加），则a [i]是max，而[i]之前的部分是按升序排列的（证明如下）。所以当外循环即将完成时i = n-1然后a [i]是max，并且直到索引i的项被排序（并且由于前面的项都没有大于max）所以整个数组订购。

为了证明在j循环之后a [i]总是最大是简单的：我在j循环中没有改变，如果j遇到大于a [i]的项目则将其带到[i]由于j扫描了整个数组，因此它不可能包含大于a [i]的元素。

要证明我订购的物品是完全归纳的。我们将使用上述关于[i]最大的声明对于i = 0平凡（没有前面的元素）。 a [0]是最大值，“它是有序的” i = 1（只是为了好玩）：1个项目到[0]（不关心它的值，它不能大于最大值），a [1]是最大值。所以[0..1]排序。

现在，如果在i = k结束的j循环后满足这些论文，则会发生以下情况：
我＆lt; - k + 1
假设当前项目a [i] = q。
j扫描[]到k。由于k是最大值，它将被交换到i。我之外的物品还没有被打扰。因此，基本上max会向上移动一个，所以一个项目，特别是q被添加到数组的第一部分。我们来看看如何：
排序到max的部分由j扫描，直到它在索引m处找到大于a [i]的项目。（在最坏的情况下会找到[i-1]。）对m到m的项目进行排序。现在将在此处插入[i]，范围[m..i-1]中的所有项目将向上移动一个。由于m是插入[i]的正确位置，因此在移动后将订购[0..i]。现在唯一要证明的是[m..i]中的j循环真的执行了一个移动：
在开始时，序列a [i]，a [m..i-1]被排序，因此在该间隔中的每个比较将触发交换：a [i]总是a [j..i]中的最小值部分。交换（i与j）将使第j个位于正确的位置（最小项目位于前面）并且j步进到间隔的剩余部分。
所以j到达i = k + 1（这里没有交换）并且[k + 1]是最大值，所以在这个j循环中没有更多的交换，所以最后一个[0..k + 1]被排序。

所以最后如果论文保持i = k，那么它们在j循环后保持i = k + 1。我们已经建立了它们在1个j循环后保持i = 0，并且从i循环显示总共将有n个j循环因此这些论文适用于i = n-1这正是我们所承诺的在第一段证明。

最简单的冒泡排序

2 个答案: