获取排序组合数的算法？

Question

假设有“n”数字，我们从中选择“p”数字（p小于n），以便选择“ p“数字已排序。可以重复选定的号码。我们如何计算我们可以选择的数量组合？例如，如果我们有一组数字说{1,2,3,4,5,6}（n = 6），我们将从集合中选择3个数字（p = 3）进行排序。所以我们可以{1,2,3}，{1,1,2}，{2,3,6}，{4,5,5}，{5,5,5} .......由于所有这些组合都已排序，因此它们是有效的。我们怎样才能找到这样的已排序组合的数量？

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我从排序单词的意思是，当我们从 n 元素的数组中选择 p 元素时，选中 p 元素应该排序。

举一个小例子：

如果集合是{1,2,3,4}（所以n = 4）并且我们要选择3个元素（p = 3），那么我们可以选择p个元素（替换）的方式将是{{1} }。所以选择将有4*4*4=64。但在这些选择中，并非所有选择都已排序。在此示例中，{1,1,1},{1,1,2},{1,1,3}{1,1,4},{1,2,1}.....{3,1,1}...{4,4,4}和{1,2,1}未排序。

我想获得排序选择的数量 谢谢。

Answer 1

我没有看到排序如何影响结果。对于每个可能的重复组合，都会有相应的排序排列。

因此，问题归结为一次采用p替换的n个元素的组合数。这是直截了当的公式，（n-1 + p）C（p）=阶乘（n-1 + p）/（阶乘（p）*阶乘（n-1））

以下是explanation of the formula和another one from wolfram。

Answer 2

@ BiGYaN的答案here，是正确的，但缺乏获得此结果的旅程中的幽默（即使在提供的链接上），所以我决定添加这个 -

1. 首先OP不应该采用集合的类比，因为根据定义，集合不考虑订单，而且包含唯一的项目。

2. 如果我们采用相同的例子，其中n = 6或[1,2,3,4,5,6]，现在我们得到长度为3的序列，这样 -

   pattern = d1＆lt; = d2＆lt; = d3（d代表数字）。

我们需要序列如：{[1,1,1]，[1,1,2]，....，[2,2,3]，[2,2,4]，... }。 现在，对于这样的序列，从左侧扫描模式并尝试推断我们是否要增加数字。

对于ex：从d1的左边开始并且如果你想在这里增加d1的原因，如果你决定不这样做 - d1将是'1'并且现在向前移动在d2之前问同样的问题，如果你再次决定不起来，d2再次为'1'。

如果您决定将其提高5次以获得[6,6,6]，则可以随时选择向上5次，因为范围是[1-6]而d1应该至少为6。

所以，问题就是选择适合5个人的地方

[up up up up up d1 d2 d3]

这可能是[向上d1向上向上d2 d3]，产生[2,6,6]，或 [d1向上向上d2向上d3]，产生[1,4,5]或任何这样的组合。

所以，实际答案是 - C（5 up + 3 d's，5 up）或者， 更一般地说

C(n-1 up's + k digits, n-1 up's) or C(n-1+k, n-1)

其中，k个事物要按照排序的顺序选择。

Answer 3

您可以从一组k元素中选择替换n元素的方式数量与您可以选择k元素而无需替换元素的方式数相同n + k - 1元素。后一个值是二项式系数n+k-1 choose k，其值为(n+k-1)!/(k! (n-1)!)

非正式示范：

假设我有n个蓝框。我把它们排成一排（所以它们被分类），然后拿出k个红球。除了最后，我把红球放在我喜欢的任何地方，所以行必须以蓝色方框结束。现在，对于每个红色球，我选择以下蓝色框。如果两个或多个红球并排，则它们都对应于同一个蓝色框。

所以红球和蓝框的每一个排列都对应于一些选择，更换蓝框，每一个蓝框选择对应红球和蓝框的排列。

我可以用多少种方式安排红球和蓝盒子？我的行必须以蓝色框结束，所以我把那个拿走了，现在我可以用我选择的任何方式安排剩余的n-1个蓝色框和k个红色球。或者，换句话说，我可以选择k + n-1个位置的k，并将红球放在那些位置，用蓝色方框填充剩余的位置。