Question

我的目的是找到矩阵的特征向量。在Matlab中，有一个[V,D] = eig(M)来获取矩阵的特征向量：[V,D] = eig(M)。或者，我使用网站 WolframAlpha 来仔细检查我的结果。

我们有一个名为10X10的{{1}}矩阵：

0.736538062307847 -0.638137874226607 -0.409041107160722 -0.221115060391256 -0.947102932298308 0.0307937582853794 1.23891356582639 1.23213871779652 0.763885436104244 -0.805948245321096 -1.00495215920171 -0.563583317483057 -0.250162608745252 0.0837145788064272 -0.201241986127792 -0.0351472158148094 -1.36303599752928 0.00983020375259212 -0.627205458137858 0.415060573134481 0.372470672825535 -0.356014310976260 -0.331871925811400 0.151334279460039 0.0983275066581362 -0.0189726910991071 0.0261595600177302 -0.752014960080128 -0.00643718050231003 0.802097123260581 1.26898635468390 -0.444779390923673 0.524988731629985 0.908008064819586 -1.66569084499144 -0.197045800083481 1.04250295411159 -0.826891197039745 2.22636770820512 0.226979917020922 -0.307384714237346 0.00930402052877782 0.213893752473805 -1.05326116146192 -0.487883985126739 0.0237598951768898 -0.224080566774865 0.153775526014521 -1.93899137944122 -0.300158630162419 7.04441299430365 -1.34338456640793 -0.461083493351887 5.30708311554706 -3.82919170270243 -2.18976040860706 6.38272280044908 2.33331906669527 9.21369926457948 -2.11599193328696 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0：

2.84950796497613 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 1.08333535157800 + 0.971374792725758i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 1.08333535157800 - 0.971374792725758i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i -2.05253164206377 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i -0.931513274011512 + 0.883950434279189i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i -0.931513274011512 - 0.883950434279189i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i -1.41036956613286 + 0.354930202789307i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i -1.41036956613286 - 0.354930202789307i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i -0.374014257422547 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.00000000000000 + 0.00000000000000i 0.165579401742139 + 0.00000000000000i：

我得到了以下结果：

原始矩阵：

Original Matrix M

WolframAlpha的结果：

wolframalpha

Matlab Eig的结果：

D（特征值）

Eigen Values - D

V（特征向量）

eigenVectors

是否有可能为eigenVectors获得不同的解决方案，或者它应该是一个独特的答案。我有兴趣澄清这个概念。

Answer 1

由于各种原因，特征向量不是唯一的。改变符号，并且特征向量仍然是相同特征值的特征向量。实际上，乘以任何常数，特征向量仍然存在。不同的工具有时可以选择不同的规范化。

如果特征值的多重性大于1，那么只要它们跨越相同的子空间，特征向量就不再是唯一的。

Answer 2

正如木片指出（+1），特征向量仅在线性变换时才是唯一的。从定义中可以明显看出这一事实，即特征向量/特征值对解决了特征函数A * v = k * v，其中A是矩阵，v是特征向量，k是特征值。

让我们考虑一个比你（可怕的）问题更简单的例子：

M = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];
[EigVec, EigVal] = eig(M);

Matlab产量：

EigVec =
-0.2320   -0.7858    0.4082
-0.5253   -0.0868   -0.8165
-0.8187    0.6123    0.4082

而Mathematica收益：

EigVec = 
0.2833    -1.2833    1
0.6417    -0.1417    -2
1         1          1

来自Matlab文档：

“对于eig（A），特征向量被缩放，使得每个的范数为1.0。”。

另一方面，Mathematica显然是缩放特征向量，因此最终元素是统一的。

即使只是看到我给出的输出，你也可以开始看到关系出现（特别是比较两个输出的第三个特征向量）。

顺便说一下，我建议你编辑你的问题，以便有一个更简单的输入矩阵M，比如我在这里使用的那个。这将使将来访问此页面的任何人都更具可读性。它实际上并不是一个糟糕的问题，但它目前的格式化方式可能会导致它被低估。

Answer 3

我完全同意 Mr.Colin T Bowers ，即MATHEMATICA进行规范化，以便EigenVectors的最后一个值变为一。使用MATLAB，如果有人想要生成像MATHEMATICA这样的EigenVectors结果，那么我们可以使用以下标准化步骤告诉MATLAB将 EigenVectors 的最后一个值归结为 1 。

M = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];

[EigVec, EigVal] = eig(M);

sf=1./EigVec(end,:); %get the last value of each eigen vector and inverse for scale factor

sf=repmat(sf,size(EigVec,1),1); % Repeat Scale value of each element in the vector

Normalize_EigVec=EigVec.*sf;

Normalize_EigVec =

    0.2833   -1.2833    1.0000
    0.6417   -0.1417   -2.0000
    1.0000    1.0000    1.0000

Answer 4

正如Rody所指出的，Mathematica使用的规范化是使最后一个元素统一。其他的eig函数就像QZ算法（例如你必须在Matlab编码器中使用，因为Cholesky不被支持），不要像Matlab那样对[V，lam] = eig（C）进行正常化。。 EX：[V，lam] = eig（C，眼睛（尺寸（C）），＆＃39; qz＆＃39;）;

来自文档http://www.mathworks.com/help/techdoc/ref/eig.html

注意：对于eig（A），缩放特征向量，使每个向量的范数为1.0。对于eig（A，B），eig（A，＆＃39; nobalance＆＃39;）和eig（A，B，flag），特征向量未被标准化。另请注意，如果A是对称的，则eig（A，＆＃39; nobalance＆＃39;）会忽略不平衡选项，因为A已经平衡。

对于[V，lam] = eig（C）;特征向量被缩放，因此每个的标准都是1.0。这就是我们在这里所需要的。 Matlab为Cholesky公式做了这个，那么，如何重新规范QZ生成的特征向量，使它们具有相同的比例？像这样：

W = V;
for i = 1:size(V,2) % for each column
    V(:,i) = V(:,i) / norm(V(:,i), 2);  % Normalize column i
end

这将找到每个向量的长度，并将元素除以该长度以缩放向量。 Mathamatica基本上做同样的事情，使最后一个元素1而不是规范化向量。 http://www.fundza.com/vectors/normalize/

请注意，向量和值的顺序不一样，因此您可能仍需要对它们进行排序。 Matlab的Cholesky算法按照如下排序顺序生成项目：

lam=diag(lam);
[sorted_lam,index]=sort(lam);
for cont=1:length(sorted_lam)
   sorted_V(:,cont)=V(:,index(cont));
end
W=sorted_W;
lam = diag(sorted_lam);

即使在这样做之后，符号可能也不会指向相同的方向（如果它们乘以-1，则特征向量仍然是特征向量）。请注意，相同的排序必须应用于lambda（特征值）或那些将不按顺序排序。

典型的惯例是，如果列中的第一个元素为负，则填充列的符号。

如果超过2个是否定的话，你可以做的就是翻转标志：

%FLIP SIGNS IF MORE THAN 2 ARE NEGATIVE
W=sorted_W;
for i = 1:size(W,2) % for each column in V
    A = W(:,i);
    s=sign(A);
    inegatif=sum(s(:)==-1);
    if(inegatif>1)
        W(:,i) = -W(:,i);
    end
end

但这只有在元素不接近0时才有用，因为如果它们接近0，则不同的算法可能会在0的另一侧找到该值，但它比什么都没有。

最后一件事，对于＆＃39; B＆＃39;值（广义特征值问题输入矩阵），我正在使用＆＃39; eye（size（C））＆＃39;。 是否有最佳方式来选择＆＃39; B＆＃39;改进这个算法并使它给出更接近Cholesky的答案或更准确？你可以使用任何（相同大小的实际矩阵）值，如B再次包括A或A＆＃39; （A是输入矩阵），但什么是一个好的选择？＆＃39; 可能 A＆＃39; ，我注意到某些输入为3x3 -1似乎给出了与＆＃39; chol＆＃39;

相同的答案

https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/eig.html?searchHighlight=eig&s_tid=doc_srchtitle#inputarg_B

我们能从矩阵中获得不同的eigenVectors解决方案吗？

4 个答案: