Question

以下是参数n和k的子集问题的代码。 n代表学生总数，k代表我想要离开的学生数量。该代码试图给出从n个学生中拉出k个学生的可能组合的数量。

def subset(n, k): 
    if k == 0:
        return 1
    if n == k:
        return 1
    else:
        return subset(n-1, k-1) + subset(n-1, k)

我理解递归调用的第一部分，但是我无法理解+子集（n-1，k）部分。任何人都可以向我解释这个吗？

Answer 1

递归是基于一个简单的观察，我将给出一个组合论证，为什么它是真的，而不是通过公式的数学证明。

每当您从k中选择n个元素时，有两种情况：

由于这些事件是互斥的，因此在选择#n时以及未选择#n时的组合数量会给出组合总数。

选择元素`#n`

由于我们已经选择了一个元素，因此我们只需要选择另一个k-1元素。此外，由于我们已经决定了一个元素 - 关于它是否包括在内 - 我们只需要考虑剩余的n-1元素。

因此，选择元素#n的组合数量由

    subset(n - 1, k - 1)

不选择元素`#n`

仍然可以选择k个元素，但由于我们已经对元素#n做出了决定，因此只有n - 1元素可供选择。因此：

    subset(n - 1, k)

递归使用的事实是，我们通常可以区分两种情况，即解决方案，其中元素n是解决方案的一部分，而不是解决方案的一部分。

然而，并不总能做出这样的区分：

在这些情况下，只有一个解决方案，因此

if k == 0:
    return 1
if n == k:
    return 1

要做到这一点，我们需要说服自己（或证明）基本情况总是在某个时刻被击中。

我们假设，n < k在某个时刻。根据我们的假设，n最初大于或等于k，必须已经n = k的某个点，因为n和{ {1}}同时减少或仅k减少1，即遵循

这意味着，必须要求n调用subset(n - 1, k)，n减少到k以下。但是，这是不可能的，因为我们在n = k上有一个基本案例，我们返回一个常量1。

我们得出的结论是n在某些时候会降低n = k，或者在k时完全降低k = 0次。

因此，基本案例有效。

Answer 2

这是一个数学问题而不是编程问题。你在做的是计算二项式系数，公式是

(n, k) = (n-1, k-1) + (n-1, k) with all (n, 0) and (n, n) having a value of 1.

请参阅here以获取完整说明。可以看到递归解决方案here。如果上述链接无效，只需使用Google搜索即可。我怀疑你会在阅读维基百科上的这篇文章后得到更好的解释。

Answer 3

代码片段：

row_number

使用两个组合事实：

if k == 0:
    return 1
if n == k:
    return 1

作为基本案例。

接下来，在递归调用之后：

nC0 = 1
nCn = 1

直接将以下事实转换为代码：

return subset(n-1, k-1) + subset(n-1, k)

如果您难以理解上述等式的含义，请继续阅读：在nCr中，我们选择n中的r项。如果我们考虑任何特定项目，可以将选择分为两个互斥的类：

我们添加了这两个，因为我已经说过这两个类是互斥的，因此共同形成了从n中选择r项的总方式。