我可以在不计算角度的情况下找到余弦值的正弦值吗？

Question

叉积的大小描述了用于构建交叉积的两个向量（u，v）描述的平行四边形的有符号区域，它有其用途。这个相同的幅度可以计算为u和v之间角度的正弦的v倍的u倍的大小：   ||ü|||| v ||罪（THETA）。

现在u（标准化）和v（标准化）的点积给出了u和v之间角度的余弦：   cos（theta）== dot（normalize（u），normalize（v））

我希望能够获得与余弦值相关的带符号正弦值。它是相关的，因为正弦和余弦波是PI / 2不同步。我知道1的平方根减去余弦值的平方值给出了无符号正弦值：   sin（theta）== sqrt（1 - （cos（theta）* cos（theta）） 其中cos（theta）是指点积而不是角度。

但是伴随标志计算（+/-）要求θ为角度：   （cos（theta + PI / 2））＆gt;或==或＆lt; 0 如果我必须执行acos功能，我不妨只做十字产品并找到幅度。

是否有已知的比率或步骤可以添加到余弦值以获得其相关的正弦值？

Answer 1

对于每个可能的余弦，如果相应的角度不受限制，则两个符号都可以正弦。

如果你知道角度在[0,pi]之间，那么正弦必须为正或零。

如果您想知道平行四边形的区域，请始终选择正分支sin(x) = sqrt(1 - cos(x)^2)。负区域很少有意义（仅用于定义w.r.t.到平面的方向，例如背面剔除）

如果您有两个向量，请直接使用叉积或点积，而不是另一个并转换。

Answer 2

对我而言，似乎是一种获取atan2身份的复杂方式：

d =   · = ||||cosθ
c = |×| = ||||sinθ   (with 0° < θ < 180°)

 tanθ = · / |×|
    θ = atan2(c·sgn(c|z), d)   (= four quadrant)

其中sgn(c|z)是c中z分量的符号（除非两者都与xz或yz平面完全平行，然后分别是y分量和x分量的符号）。

现在，从基本的三角形身份，

r = √(x²+y²)

cos(atan2(y,x)) = x/r
sin(atan2(y,x)) = y/r

因此，

sinθ = c·sgn(c|z)/√(c²+d²)
cosθ = d/√(c²+d²)

Answer 3

我想我找到了解决方案。

cos(b) == sin(a)

v_parallel = dot(normalize(u), v) // the projection of v on u

v_perp = normalize(v) - v_parallel

cos(b) = dot(normalize(v), v_perp) // v_perp is already normalized

因此，

的大小

u cross v = magnitude(u) * magnitude(v) * cos(b)