Question

可能重复：
Handling very large numbers in Python

我有一个python函数来生成斐波那契数字：

def fib(n):                                                                                                            
        return ((1+math.sqrt(5))**n - (1-math.sqrt(5))**n)/(2**n*math.sqrt(5))

我可以提供最多700的fib功能数字，它开始

OverflowError: (34, 'Numerical result out of range')

我是否需要使用特殊类型来解决这个问题？

Answer 1

问题是你正在使用双打来计算价值而双打正在溢出。双打只给出了大约第85个斐波纳契数的精确解。

如果您想要快速准确的计算，最好使用基于更好的递归关系的算法，并使用python bignum整数。

特别是你可以使用：

 fib(2*n) = fib(n)^2 + fib(n-1)^2
 fib(2*n-1) = fib(n)*(2*fib(n-1)+fib(n))

或等效矩阵求幂公式（原谅丑陋的格式化）

 [ F_n     F_{n-1} ]      [ 1   1 ] ^N 
 [                 ]  =   [       ]
 [ F_{n-1} F_{n-2} ]      [ 1   0 ]

这两项都会产生需要O(log(N))计算而不是O(N)的算法。

这是complete solution in pseudo-code

如果您确实想使用双精度和显式公式执行计算，那么可以调整公式以提供更快的速度，直到大约第1500个斐波纳契数时才会溢出，并保持与您的版本相同的精度。 IIRC是：

def fib(n):                                                                                                            
    return round( ((1+math.sqrt(5))/2)**n / math.sqrt(5) )

Answer 2

很容易隔离错误

>>> (1+math.sqrt(5))**700
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
OverflowError: (34, 'Numerical result out of range')

此方法无效，因为浮点数没有足够的精度

例如，这里

>>> (1+math.sqrt(5))**600
1.024664165563927e+306

您只使用前15个左右的数字。当你做任何算术

时，剩余的291将被视为零

有关wikipedia

的详情，请参阅accuracy problems with floating point numbers

Answer 3

您可以随时尝试这种方法：

def fib(n, memo={0:0, 1:1}):
    if n not in memo:
        memo[n] = fib(n-1) + fib(n-2)
    return memo[n]

print fib(800)

输出：

69283081864224717136290077681328518273399124385204820718966040597691435587278383112277161967532530675374170857404743017623467220361778016172106855838975759985190398725

Answer 4

如果您确实想要使用该算法，并且希望超出内置float的限制，那么是的，您需要一个不同的类型。

如果您只想得到一个近似答案而不是例外，那很容易;你可以开箱即用。但是，如果您还想消除舍入误差，则无法获得无限精度（这需要无限的时间/空间），因此您必须知道如何计算输入范围所需的精度。（我将把它作为读者的练习。）

标准库类型decimal.Decimal可能就是您所需要的。它根据IEEE-854标准提供任意精度的固定或浮点十进制算术。有很多情况下它不可用，因为它没有提供足够的数学函数，但你只需要基本的算术和sqrt，这很好。它对于大数字来说也可能很慢，但如果你只想在几个三位数上计算fib，那就足够了。

当Decimal不足时，有许多第三方模块，通常包含行业标准C库，如gmp / mpfr，例如bigfloat。

以下是如何获得无限范围，但舍入误差与内置浮点大致相同：

>>> s5 = decimal.Decimal(5).sqrt()
>>> def fib(n):
...     return ((1+s5)**n - (1-s5)**n)/(2**n*s5)
>>> fib(800)
Decimal('6.928308186422471713629008226E+166')
>>> int(fib(800))
69283081864224717136290082260000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000L
>>> s5 = bigfloat.sqrt(5)
>>> def fib(n):
...     return ((1+s5)**n - (1-s5)**n)/(2**n*s5)
>>> fib(800)
BigFloat.exact('6.9283081864226567e+166', precision=53)
>>> int(fib(800))
69283081864226566841137772774650010139572747244991592044952506898599601083170460360533811597710072779197410943266632999194601974766803264653830633103719677469311107072L

但请注意，如果你完美地完成数学计算，这些都不是你得到的答案。你有四舍五入的错误输了24位数。（值不同的原因是bigfloat在基数为2的四舍五入，基数为10的decimal。）

要解决这个问题，您需要更高的精确度。所有库都提供了一些改变精度的方法; bigfloat有比大多数更方便的选项，但没有一个太繁重：

>>> decimal.getcontext().prec = 300
>>> s5 = decimal.Decimal(5).sqrt()
>>> def fib(n):
...     return ((1+s5)**n - (1-s5)**n)/(2**n*s5)
>>> fib(800)
69283081864224717136290077681328518273399124385204820718966040597691435587278383112277161967532530675374170857404743017623467220361778016172106855838975759985190398725.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000048
>>> def fibp(n, p):
...     with bigfloat.precision(p):
...         s5 = bigfloat.sqrt(5)
...         return ((1+s5)**n - (1-s5)**n)/(2**n*s5)
>>> fibp(800, 125)
BigFloat.exact('6.92830818642247171362900776814484912138e+166', precision=125)
>>> int(fibp(800, 125))
69283081864224717136290077681448491213794574774712670552070914552025662674717073354503451578576268674564384721027806323979200718479461097490537109958812524476157132800L

生成斐波纳契数时，溢出错误'数值结果超出范围'

4 个答案: