Question

在Agda中，forall的类型的确定方式使得以下所有类型都Set1 {其中Set1的类型为Set和{ {1}}的类型为A}：

Set

但是，以下类型为Set → A A → Set Set → Set：

Set

我理解如果A → A类型为Set，则会出现矛盾，但我没有看到如果上述三个术语中的任何一个具有Set类型，我们会产生矛盾。那些可以用来证明是假的吗？它们可以用于显示Set吗？

Answer 1

很明显，Set : Set会导致矛盾，例如Russell's paradox。

现在考虑() -> Set其中()是unit type。这显然与Set同构。所以如果() -> Set : Set那么Set : Set。事实上，如果对于任何有人居住的A A -> Set : Set，我们可以使用常量函数将Set包装到A -> Set中：

wrap1 : {A : Set} -> Set -> (A -> Set)
wrap1 v = \_ -> v

并在需要时获取值

unwrap1 : {A : Set}(anyInhabitant : A) -> (A -> Set) -> Set
unwrap1 anyInhabitant f = f anyInhabitant

所以我们可以重建罗素的悖论，就好像我们有Set : Set一样。

同样适用于Set -> Set，我们可以将Set包裹到Set -> Set中：

data Void : Set where

unwrap2 : (Set -> Set) -> Set
unwrap2 f = f Void

wrap2 : Set -> (Set -> Set)
wrap2 v = \_ -> v

我们可以使用任何类型的Set代替Void。

我不确定如何使用Set -> A做类似的事情，但直觉上这似乎比其他类型更有问题，也许别人会知道。

Answer 2

我认为理解这一点的最好方法是考虑这些事物是什么样的集合理论集，而不是像Agda Set。假设你有A = {a,b,c}。函数f : A → A的一个示例是一组对，假设f = { (a,a) , (b,b) , (c,c) }满足一些与此讨论无关的属性。也就是说，f的元素与A的元素是相同的 - 它们只是值，或者是值对，没有什么太“大”。

现在考虑一个函数F : A → Set。它也是一组对，但它的对看起来不同：F = { (a,A) , (b,Nat) , (c,Bool) }让我们说。每对中的第一个元素只是A的一个元素，所以它非常简单，但每对的 second 元素都是 Set ！也就是说，第二个元素本身就是一个“大”的东西。因此，A → Set无法设置，因为如果是，那么我们应该能够拥有一些看起来像G : A → Set的{{1}}。一旦我们能够做到这一点，我们就能得到拉塞尔的悖论。所以我们改为G = { (a,G) , ... }。

这也解决了A → Set : Set1是否也应该在Set → A而不是Set1的问题，因为Set中的函数就像Set → A中的函数一样{1}}，除了A → Set位于右侧，A位于左侧之外。

为什么不能（Set - ＆gt; Set）有类型Set？

2 个答案: