Question

我得到了函数gcd，其定义如下：

def gcd(a, b):
    if (0 == a % b):
        return b
    return gcd(b, a%b)

现在我被要求编写递归函数gcd2(a,b)，该函数返回三个数字(g, s, t)的列表，其中g = gcd(a, b)和g = s*a + t*b。

这意味着您要在(a and b)函数中输入两个值gcd(a, b)。它返回的值等于下一个函数中的g。

然后将这些相同的a和b值调入gcd2(a, b)。然后使用递归部分来查找s和t的值，以便g = s*a + t*b。

我不知道如何处理这个因为我无法真正想象“停止条件”会是什么，或者我究竟要通过递归循环来实际查找{{ 1}}和s。任何人都可以帮助我吗？

Answer 1

关键的洞察力是我们可以向后工作，在递归中为每个s和t找到a和b。所以说我们有a = 21和b = 15。我们需要使用多个值来完成每次迭代 - a，b，b % a，和 c其中a = c * b + a % b 。首先，让我们考虑基本GCD算法的每一步：

21 = 1 * 15 + 6
15 = 2 * 6  + 3
6  = 2 * 3  + 0 -> end recursion

所以我们的gcd（g）是3.一旦我们得到了，我们就确定s和t为6和3.为此，我们从{{1}开始}，用g：

表达

(a, b, s, t = 3, 0, 1, -1)

现在我们要消除0期。从基本算法的最后一行，我们知道0 = 6 - 2 * 3：

3  = 1 * 3 + -1 * 0

简化，我们得到

3 = 1 * 3 + -1 * (6 - 2 * 3)

现在我们交换条款：

3 = 1 * 3 + -1 * 6 + 2 * 3
3 = 3 * 3 + -1 * 6

因此3 = -1 * 6 + 3 * 3和s == -1有t == 3和a = 6。因此，鉴于b = 3和a的值，b应返回gcd2。

现在我们退回到递归，我们想要消除3个术语。从基本算法的倒数第二行开始，我们知道3 = 15 - 2 * 6.再次简化和交换（慢慢地，以便您可以清楚地看到步骤......）：

(3, -1, 3)

因此，对于这种递归级别，我们返回3 = -1 * 6 + 3 * (15 - 2 * 6) 3 = -1 * 6 + 3 * 15 - 6 * 6 3 = -7 * 6 + 3 * 15 3 = 3 * 15 + -7 * 6。现在我们要消除6个学期。

(3, 3, -7)

瞧，我们已经为21和15计算了3 = 3 * 15 + -7 * (21 - 1 * 15) 3 = 3 * 15 + 7 * 15 - 7 * 21 3 = 10 * 15 - 7 * 21 3 = -7 * 21 + 10 * 15和s。

如图所示，递归函数如下所示：

请注意，出于我们的目的，使用略有不同的基本案例简化了事情：

def gcd2(a, b):
    if (0 == a % b):
        # calculate s and t
        return b, s, t
    else:
        g, s, t = gcd2(b, a % b)
        # calculate new_s and new_t
        return g, new_s, new_t

Answer 2

基本情况（停止条件）是：

if a%b == 0:
    # a = b*k for the integer k=a/b
    # rearranges to b = -1*a + (k+1)*b
    #             ( g =  s*a + t*b )
    return (b, -1, a/b+1) # (g, s, t)

然而，练习是重写递归部分：

g1, s1, t1 = gcd(b, a%b) # where g1 = s1*b + t1*(a%b)
g, s, t = ???            # where g = s*a + t*b
return (g, s, t)

就g1，s1和t1 ... 而言，归结为以{{1}为单位重写a%b }和a。

Answer 3

“在Python中写一个递归函数”，至少在CPython中，为此哭泣：注意http://docs.python.org/library/sys.html#sys.getrecursionlimit。在我看来，这是这个问题最重要的答案之一。请自行研究一下这个话题。此外，这个主题可能很有见地：Python: What is the hard recursion limit for Linux, Mac and Windows?

总之，尽可能尝试在Python中使用迭代而不是递归方法。

Answer 4

它基于Euclidian算法，使用更好的while循环连续递归甚至更好，更少执行

def gcd(m,n):
#assume m>= n
if m <n:
    (m,n) = (n,m)
if (m%n) == 0:
    return(n)
else:
    diff =m-n
    #diff >n ?Possible!
    return(gcd(max(n,diff),min(n,diff)))

while循环可以更好

def gcd(m,n):
if m<n :
    (m,n) =(n,m)
while (m%n) !=0:
    diff =m-n
    (m,n) =(max(n,diff),min(n,diff))
return(n)

使用Python中的递归函数计算扩展的gcd

4 个答案: