Question

给定一个数组，我们需要找到具有交替递增和递减值的最长子序列的长度。

例如，如果数组是， 7 4 8 9 3 5 2 1然后L = 6或7,4,8,3,5,2等7,4,9,3,5,1

也可能是首先我们有小而大的元素。

对此最有效的解决方案是什么？我有一个DP解决方案。如果我们使用蛮力来做这件事我们会怎么做（O（n ^ 3）？）？

这不是一个家庭作业问题。

Answer 1

你确实可以在这里使用动态编程方法。为简单起见，假设我们只需要找到这样的序列的最大长度 seq （很容易调整解决方案以找到序列本身）。

对于每个索引，我们将存储2个值：

在最后一步增加的元素处结束的交替序列的最大长度（例如， incr [i]）
在最后一步减少的那个元素处结束的交替序列的最大长度（例如， decr [i]）

根据定义，我们假设incr[0] = decr[0] = 1

然后可以递归地找到每个incr [i]：

incr[i] = max(decr[j])+1, where j < i and seq[j] < seq[i]
decr[i] = max(incr[j])+1, where j < i and seq[j] > seq[i]

序列的所需长度将是两个数组中的最大值，此方法的复杂度为O（N * N），并且它需要2N的额外内存（其中N是初始序列的长度）

c中的简单示例：

int seq[N]; // initial sequence
int incr[N], decr[N];

... // Init sequences, fill incr and decr with 1's as initial values

for (int i = 1; i < N; ++i){
    for (int j = 0; j < i; ++j){
         if (seq[j] < seq[i]) 
         {
             // handle "increasing" step - need to check previous "decreasing" value
             if (decr[j]+1 > incr[i])  incr[i] = decr[j] + 1;
         }
         if (seq[j] > seq[i]) 
         {
             if (incr[j]+1 > decr[i])  decr[i] = incr[j] + 1;
         }
    }
}

... // Now all arrays are filled, iterate over them and find maximum value

算法如何运作：

第0步（初始值）：

seq  = 7   4 8 9 3 5 2 1
incr = 1   1 1 1 1 1 1 1
decr = 1   1 1 1 1 1 1 1

第1步在索引1（'4'）处获取值并检查以前的值。 7> 4所以我们做“从索引0到索引1的减少步骤，新的序列值：

incr = 1 1   1 1 1 1 1 1
decr = 1 2   1 1 1 1 1 1

第2步。取值8并迭代以前的值：

7＆lt; 8，增加步骤：incr [2] = MAX（incr [2]，decr [0] +1）：

incr = 1 1 2   1 1 1 1 1
decr = 1 2 1   1 1 1 1 1

4＆lt; 8，增加步骤：incr [2] = MAX（incr [2]，decr [1] +1）：

incr = 1 1 3   1 1 1 1 1
decr = 1 2 1   1 1 1 1 1

等...

具有交替增加和减少值的最长子序列

1 个答案: