在单位球上生成随机位移

Question

给定单位向量 n ，我需要生成尽可能快，另一个随机单位向量 m 。 m 与 n 的偏差应为正参数sigma的顺序，单位 m 的分布球体应围绕 n 对称。

我对单位矢量的表示没有特殊要求，因此您可以使用球面角度，笛卡尔坐标或其他任何方便的方法。此外，对于使用的概率分布没有确切的要求，只要它在 m 偏离 n 的sigma时衰减。

我正在使用gsl和C。我用笛卡尔坐标得出了一种有点复杂的方法。如果它有用，我会稍后发布，但我希望看到人们的想法。

Answer 1

您可能知道，每个维度均匀分布在0左右的向量会产生一个点的多维数据集，其中更多的值集中在角落中。但是每个维度通常分布在0左右的向量要好得多。点的极角均匀分布在单位球面上，它们的半径集中在原点附近。您可以生成这样的矢量，根据参数sigma更改标准差。将向量添加到n，对结果进行标准化，并将其调用好。

这需要一个平方根和3个正态分布的随机数。您可以使用Ziggurat algorithm快速获取正态分布的随机数。更近似的选项是对3个或更多个均匀分布的随机数求和。还有另一种可能性：预先计算许多随机向量的表，并使用随机索引进行表查找。这些方法中的每一种都以不同的方式平衡计算和存储，因此您应该对它们进行全部编码并测试速度。

Answer 2

为什么不简单地使用球面极坐标。根据选择的某种指数衰减分布，在区间[0,2 * pi]和极角的均匀分布上生成方位角，以满足您的衰减要求。然后，您可以通过这些随机采样的极坐标和方位角生成 m 向量作为原始 n 向量的角位移。